3.11 二次函数中特殊四边形存在性问题-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精练本

第十一节　二次函数中特殊四边形存在性问题 1．(2023·济宁22题10分)如图，直线y＝－x＋4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为直线x＝的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A.点P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)若0＜m＜，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？ (3)若m＜，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 2．(2023·辽宁锦州)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A(－1，0)和B，交y轴于点C(0，3)，顶点为D. (1)求抛物线的表达式； (2)若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7，求点E的坐标； (3)在(2)的条件下，若F是对称轴上一点，H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°？如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：(1)在直线y＝－x＋4中，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4，∴B(4，0)，C(0，4)． 设抛物线的解析式为y＝a(x－)2＋k， 把点B(4，0)，C(0，4)分别代入可得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－(x－)2＋＝－x2＋3x＋4. (2)由题意知P(m，－m2＋3m＋4)， ∴PN＝－m2＋3m＋4. 当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD， ∴OD＝－m2＋3m＋4－4＝－m2＋3m， ∴D(0，m2－3m)，N(m，0)． 设直线MN的解析式为y＝k1x＋m2－3m， 把N(m，0)代入可得k1m＋m2－3m＝0， 解得k1＝3－m， ∴直线MN的解析式为y＝(3－m)x＋m2－3m. 又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为直线x＝， ∴M(3－m，－m2＋3m＋4)，∴(3－m)2＋m2－3m＝－m2＋3m＋4， 解得m1＝(不合题意，舍去)，m2＝. 综上所述，当m＝时，四边形CDNP是平行四边形． (3)存在． 理由如下：∵MN＝2ME， ∴点E为线段MN的中点， ∴点E的横坐标为＝. ∵点E在直线y＝－x＋4上，∴E(，)． 把E(，)代入y＝(3－m)x＋m2－3m中，可得(3－m)＋m2－3m＝， 解得m1＝4(不合题意，舍去)，m2＝， ∴存在m＝，使MN＝2ME. 2．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)和点C(0，3)， ∴∴ ∴抛物线的表达式y＝－x2＋2x＋3. (2)如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点E作EN⊥x轴于点N. 设E(x，－x2＋2x＋3)， ∴BN＝3－x，MN＝x－1， ∴S四边形ODEB＝S△ODM＋S梯形DMNE＋S△ENB＝×1×4＋(4－x2＋2x＋3)(x－1)＋(－x2＋2x＋3)(3－x)＝－x2＋4x＋3. ∵四边形ODEB的面积为7， ∴－x2＋4x＋3＝7， ∴x2－4x＋4＝0， ∴x1＝x2＝2， ∴E(2，3)． (3)存在，点G的坐标为(，)或(，)． 学科网（北京）股份有限公司 $$