3.9 二次函数的面积问题-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精练本

第九节　二次函数的面积问题 1．(2023·黑龙江龙东地区)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)拋物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．(2023·湖南湘潭节选)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B(1，0)，C(0，3)． (1)求二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC＝S△ABC？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由； 参考答案 1．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点 A(－3，0)和点B(1，0)两点， ∴解得 ∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3. (2)如图，连接AC，BC，设线段AB的中点为D，可知点D的坐标为(－1，0)，连接CD，过点D作与BC平行的直线l，假设与抛物线交于点P1, P2(P1在P2的左边，P2在图中未能显示)． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b1(k≠0)． ∵直线BC经过点B(1，0)和 点C(0，3)， ∴解得 ∴直线BC的解析式为y＝－3x＋3. 又∵P1P2∥BC， ∴可设直线P1P2的解析式为y＝－3x＋b2. ∵直线P1P2经过点D(－1，0)，∴3＋b2＝0. 解得b2＝－3， ∴直线P1P2的函数解析式为y＝－3x－3. 根据题意可知S△DBC＝S△ABC. 又∵P1P2∥BC， ∴直线P1P2上任意一点P′与点B，点C连线组成的△P′BC的面积都满足S△P′BC＝S△ABC， ∴直线P1P2与抛物线y＝－x2－2x＋3的交点P1，P2即为所求． 联立可得－3x－3＝－x2－2x＋3， 化简得x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2， ∴P1(－2，3)，P2(3，－12)． 2．解：(1)将点B(1，0)，C(0，3)代入y＝x2＋bx＋c得 解得 ∴抛物线解析式为y＝x2－4x＋3. (2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，顶点坐标为(2，1)． 当y＝0时，x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3， ∴A(3，0)，则OA＝3. ∵C(0，3)，则OC＝3，∴△AOC是等腰直角三角形． ∵S△PAC＝S△ABC， ∴点P到AC的距离等于点B到AC的距离． ∵A(3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式为y＝kx＋3， ∴3k＋3＝0，解得k＝－1， ∴直线AC的解析式为y＝－x＋3. 如图，过点B作AC的平行线，交抛物线于点P. 设BP的解析式为y＝－x＋d.将点B(1，0)代入得－1＋d＝0， 解得d＝1， ∴直线BP的解析式为y＝－x＋1. 联立解得(舍去)或 ∴P(2，－1)． ∵PA＝＝，PB＝＝， AB＝3－1＝2， ∴PA2＋PB2＝AB2， ∴△ABP是等腰直角三角形，且∠APB＝90°. 如图，延长PA至点D，使得AD＝PA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，则DA＝PA，则符合题意的点P在直线DE上． ∵△APB是等腰直角三角形，DE∥AC，AC⊥PD， ∴∠DAE＝∠BAP＝45°，PD⊥DE， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝AP＝2，∴E(5，0)． 设直线DE的解析式为y＝－x＋e， ∴－5＋e＝0，解得e＝5，∴直线DE的解析式为y＝－x＋5. 联立 解得或 ∴P(，)或P(，)． 综上所述，点P的坐标为(2，－1)或(，)或(，)． 学科网（北京）股份有限公司 $$