3.6 反比例函数的综合应用-【智乐星中考·中考备战】2024年山东省中考数学精练本

第六节　反比例函数的综合应用 1．(2023·四川广安)如图，一次函数y＝kx＋(k为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A(1，n)，与x轴交于点B(－3，0)． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 2．(2022·黑龙江绥化)在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x＋b与坐标轴分别交于A(5，0)，B(0，)两点，且与反比例函数y2＝ 的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当y2＞y1时，求x的取值范围； (3)若点C为线段OA上的一个动点，当 PC＋KC最小时，求△PKC的面积． 3．(2023·四川眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点 A(4，0)，与y轴交于点B(0，2)，与反比例函数y＝在第四象限内的图象交于点C(6，a)． (1)求反比例函数的表达式； (2)当kx＋b>时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线y＝上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．(2022·济南)如图，一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点 A(a，3)，与y轴交于点B. (1)求a，k的值； (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB. ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上．若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标． 参考答案 1．解：(1)把点B(－3，0)代入一次函数y＝kx＋得 －3k＋＝0，解得k＝， ∴一次函数的解析式为y＝x＋. 把点A(1，n)代入y＝x＋得n＝＋＝3， ∴A(1，3)． 把点A(1，3)代入y＝得m＝3， ∴反比例函数的解析式为y＝. (2)点P的坐标为(－8，0)或(2，0)或(5，0)． 2．解：(1)∵一次函数y1＝k1x＋b与坐标轴分别交于A(5，0)，B(0，)两点， ∴解得 ∴一次函数的解析式为y1＝－x＋. ∵△OAP的面积为，∴OA·yP＝，∴yP＝. ∵点P在一次函数图象上， ∴令－x＋＝，解得x＝4，∴P(4，)． ∵点P在反比例函数y2＝的图象上，∴k2＝4×＝2， ∴一次函数的解析式为y1＝－x＋，反比例函数的解析式为y2＝. (2)令－x＋＝，解得x＝1或x＝4，∴K(1，2)． 由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞4. (3)如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C. ∵P(4，)，∴P′(4，－)，∴PP′＝1， ∴直线KP′的解析式为y＝－x＋. 令y＝0，解得x＝，∴C(，0)， ∴S△PKC＝(xC－xK)·PP′ ＝×(－1)×1＝， ∴当PC＋KC最小时，△PKC的面积为. 3．解：(1)把A(4，0)，B(0，2)代入y＝kx＋b中得 ∴ ∴直线y＝kx＋b的表达式为y＝－x＋2. 在y＝－x＋2中，当x＝6时，y＝－×6＋2＝－1， ∴C(6，－1)． 把C(6，－1)代入y＝中得－1＝， ∴m＝－6，∴反比例函数的表达式为y＝－. (2)联立解得或 ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为(6，－1)，(－2，3)， ∴由函数图象可知，当x<－2或0<x<6时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴当kx＋b>时，x<－2或0<x<6. (3)如图，设直线AP交y轴于点 M(0，m)． ∵A(4，0)，B(0，2)， ∴BM2＝|2－m|2＝m2－4m＋4， AB2＝22＋42＝20， AM2＝42＋m2＝m2＋16. ∵△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴∠BAM＝90°， ∴BM2＝BA2＋AM2， ∴m2－4m＋4＝20＋m2＋16，解得m＝－8，∴M(0，－8)． 同理可得直线AM的表达式为y＝2x－8， 联立解得或 ∴点P的坐标为(3，－2)或(1，－6)． 4．解：(1)将点A(a，3)代入y＝x＋1得a＝4，∴A(4，3)． 将点A(4，3)代入y＝得k＝4×3＝12. (2)①如图1，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，交AB于点E， ∴AM∥CN. ∵AC＝AD，∴＝＝， ∴CN＝6. 由(1)得反比例函数的表达式为 y＝， ∴将y＝6代入y＝得x＝2，∴C(2，6)， ∴E(2，2)，∴CE＝6－2＝4， ∴S△ABC＝S△ACE＋S△BCE＝×4×2＋×4×2＝8. ②分两种情况：设P(x1，y1)，Q(x2，0)． a．如图2，