专题13 空间向量与立体几何（解密讲义）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（安徽专用）

专题13 空间向量与立体几何（解密讲义） 【知识梳理】 【考点1】空间几何体 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　　　 表面积 体积 柱　体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥　体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台　体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 方法技巧： 1.求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换 2.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. 几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径. 3.截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多， 如:判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状. 【考点2】点、直线、平面之间的位置关系 1.平行直线 (1)平行公理 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. (2)基本性质4(空间平行线的传递性) 平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 2.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 3.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b 4.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及其推论 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 ⇒l⊥α 推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 ⇒b⊥α 推论2 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b 5.直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：. 6.平面与平面垂直