专题13 空间向量与立体几何（分层练，命题点训练+拓展培优+挑战真题）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（安徽专用）

专题验收评价 专题13 空间向量与立体几何 内容概览 A·常考题不丢分 考点一 空间几何体 考点二 点、直线、平面之间的位置关系 考点三 空间向量 B·拓展培优拿高分 C·挑战真题争满分 考点一 空间几何体 · 命题点1 空间几何体的表面积与体积 1．（多选）在正四棱台中，，，则（    ） A．该正四棱台的体积为 B．直线与底面所成的角为60° C．线段的长为 D．以为球心，且表面积为的球与底面相切 2．（多选）如图所示，四边形是边长为4的正方形，分别为线段上异于点的动点，且满足，点为的中点，将点沿折至点处，使平面，则下列判断正确的是（    ）    A．若点为的中点，则五棱锥的体积为 B．当点与点重合时，三棱锥的体积为 C．当点与点重合时，三棱锥的内切球的半径为 D．五棱锥体积的最大值为 3．如图，在梯形ABCD中，，，，，将沿AC折起，使点D到达点P位置，此时二面角为，连接PB，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 4．若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 . 5．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面. (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)是否存在实数，使三棱锥体积为. 考点二 点、直线、平面之间的位置关系 · 命题点1 直线、平面平行的判定与性质 1．如图，平面 ，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； 2．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正切值． 3．如图，在四棱锥中，为顶点，底面为正方形，设面与面交于交线. (1)求证：； (2)若在上有一点，，，，平面平，求直线与平面所成角的正弦值. 4．如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)求证：平面； (2)若，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值． 5．如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.    (1)求证：； (2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. · 命题点2直线、平面垂直的判定与性质 1．（多选）四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（    ） A．不存在点，使得 B．的最小值为 C．四棱锥的外接球表面积为 D．点到直线的距离的最小值为 2．如图，在四棱锥中，，，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 3．已知四棱锥的底面为矩形，，过作平面，分别交侧棱于两点，且. (1)求证：； (2)若是等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 4．如图，在三棱锥中，平面平面ABC，且，，E为棱PC的中点，F为棱PB上的点.    (1)证明：； (2)当面积最小时，求四面体的体积. 5．如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上. (1)求证：； (2)若平面，求的值； (3)在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值. 命题点3 二面角 1．已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做是一个倒扣的正四棱台．如图所示，过作底面的垂线，垂足为G．记，，，面与面所成角为，面与面所成角为x，，，，则（    ）    A．正四棱台的体积为 B． C． D． 3．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，所用术语形象丰富．如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在三棱柱中， ，平面平面，平面平面． (1)证明：三棱柱是“堑堵”； (2)若，当“阳马”的体积最大值时，求平面与平面所成锐二面角的正切值． 4．如图，在直三棱柱中，，，E，F为上分别靠近C和的四等分点，若多面体的体积为40． (1)求到平面的距离； (2)求二面角的大小． 5．如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：    (1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值； (2)当的值为多少时，能使平面？ 考点三 空间向量 · 命题点1 空间向量及其运算 1．给出下列命题，其中错误的命题是（    ） A．向量，，共面，即它们所在的直线共面 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．两个非零向量与任何一个向最都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 2．（多选）阅读材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为不全为零的平面的方程为.根据