专题七：第5讲利用导数研究不等式问题讲义-2024届高三数学二轮复习

　　第5讲　利用导数研究不等式问题 　(2023·重庆九龙坡二模)已知函数f(x)＝ln x＋－ax，函数g(x)＝＋－2aex＋1. (1)当a>0时，求f(x)的单调区间； (2)已知a≥，ex>，求证：g(x)<0； (3)已知n为正整数，求证：＋＋＋…＋＋>ln 2. 举一反三 (2023·辽宁大连三模)(1)非零实数x满足－1<x<1.证明：不等式(1－x) 1-<(1＋x)； (2)证明：不等式0.9999101<0.99<0.9999100. 　 (2023·河北张家口高三模拟)已知函数f(x)＝ex(x2＋1)(其中e为自然对数的底数)． (1)讨论函数y＝f(x)＋(a－2)x·ex(a∈R)的单调性； (2)若x1>x2>0，不等式e2x1－e2x2>λ|f(x1)－f(x2)|恒成立，求实数λ的取值范围． 举一反三 　(2023·南通三调)已知函数f(x)＝xcosx，g(x)＝asinx. (1)若a＝1，证明：当x∈时，x>g(x)>f(x)； (2)当x∈∪时，<，求a的取值范围． 　已知函数f(x)＝xln x－mx2－x(m∈R)． (1)若直线y＝x＋b与f(x)的图象相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值； (2)若函数f(x)在(0，＋∞)上存在两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：ln x1＋ln x2>2. 举一反三 　(2023·山东泰安二模)已知函数f(x)＝mex－1－ln x，m∈R. (1)当m≥1时，讨论方程f(x)－1＝0解的个数； (2)当m＝e时，g(x)＝f(x)＋ln x－有两个极值点x1，x2，且x1<x2，若e<t<，证明：①2<x1＋x2<3； ②g(x1)＋2g(x2)<0. 综合测试 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋. 2．(2023·新课标Ⅱ卷)(1)证明：当0<x<1时，x－x2<sinx<x； (2)已知函数f(x)＝cosax－ln (1－x2)，若x＝0是f(x)的极大值点，求a的取值范围． 3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x＞0时，f(x)＜－1，求a的取值范围； (3)设n∈N*，证明：＋＋…＋＞ln (n＋1)． 4．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－ln x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2<＋<e. 5.已知函数f(x)＝(x＋1)(ex－1)． (1)求曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程； (2)若a≤e－1，证明：f(x)≥aln x＋2ex－2在x∈[1，＋∞)上恒成立； (3)若方程f(x)＝b有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2－x1≤1＋＋. 强化训练 1．(2023·江苏徐州一中高三模拟)已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1. (1)若a＝－，求函数f(x)的单调区间； (2)设a<－1，若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，恒有|f(x1)－f(x2)| ≥4|x1－x2|，求a的取值范围． 2．已知函数f(x)＝ln x＋－，若x1，x2(x1<x2)是f(x)的两个极值点，从下面两个结论中任选一个进行证明． ①<；②f(x1)＋2a≥3－ln 2. 3．(2023·全国甲卷)已知f(x)＝ax－，x∈. (1)若a＝8，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)＜sin2x恒成立，求a的取值范围． 4．(2023·浙江绍兴模拟)已知函数f(x)＝x2，a为实数． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在x＝e处取得极值，f′(x)是函数f(x)的导函数，且f′(x1)＝f′(x2)，x1<x2，证明：2<x1＋x2<e. 5．(2023·石家庄三模)若定义在区间I上的函数y＝f(x)，其图象上存在不同两点处的切线相互平行，则称函数y＝f(x)为区间I上的“曲折函数”，现已知函数f(x)＝2a2ln x＋x2(a>0)． (1)证明：y＝f(x)是(0，＋∞)上的“曲折函数”； (2)设0<x0<a，证明：∃x1∈(x0，a)，使得∀x∈(x1，a)，均有(a－x0)f′(x)－f(a)＋f(x0)<0. 6．(2023·天津高考)已知函数f(x)＝ln (x＋1)． (1)求曲线y＝f(x)在x＝2处切线的斜率； (2)当x>0时，证明：f(x)>1； (3)证明：<ln (n！)－ln n＋n≤1，n∈N*. 38 学科网（北京）股份有限公司 $$第5讲利用导数研究不