专题七：第4讲利用导数研完函数的零点问题讲义-2024届高三数学二轮复习

　　第4讲　利用导数研究函数的零点问题 　(2023·云南统考模拟预测)已知函数f(x)＝sinx－在点(0，f(0))处的切线l与直线n：x－y＝0垂直． (1)求切线l的方程； (2)判断f(x)在(0，π)上零点的个数，并说明理由． 举一反三 (2023·湖南长沙一中高三模拟)已知函数f(x)＝ex＋aln ＋1(a>0)． (1)若a＝e，求f(x)的最小值； (2)判断方程f(x)＝1＋2aln a的实根个数． 　(2023·台州质检)已知函数f(x)＝aln x＋. (1)证明：当a≥0时，f(x)有且只有一个零点； (2)若f(x)在区间(0，1)，(1，＋∞)上各恰有一个零点，求a的取值范围． 举一反三 (2023·北京海淀清华附中校考模拟预测)已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若方程f(x)＝ax＋有解，求实数a的取值范围． 综合测试 1．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b. (1)讨论f(x)的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点． ①<a≤，b>2a；②0<a<，b≤2a. 3.已知函数f(x)＝sinx－(x＋a)cosx，函数g(x)＝x3＋ax2，其中a≥0. (1)判断函数f(x)在(0，π)上的单调性，并说明理由； (2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)有且仅有一个公共点． 强化训练 1．(2023·江苏连云港统考模拟预测)已知函数f(x)＝x2＋xln x. (1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值； (2)若关于x的方程f(x)＝ax3有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 2．已知函数f(x)＝ex－ax＋sinx－1. (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间； (2)当1≤a＜2时，讨论函数f(x)零点的个数． 3．(2023·佛山一模)已知函数f(x)＝，g(x)＝2e1－x＋1，其中k为实数． (1)求f(x)的极值； (2)若h(x)＝g(x)－f(x)有4个零点，求实数k的取值范围． 4．(2023·安徽六安模拟)罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔中值定理描述如下：如果R上的函数f(x)满足以下条件：①在闭区间[a，b]上连续，②在开区间(a，b)内可导，③f(a)＝f(b)，则至少存在一个ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0.据此，解决以下问题： (1)证明：方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)内至少有一个实根，其中a，b，c∈R； (2)已知函数f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围． 5．(2023·南充三模)已知函数f(x)＝xsinx＋cosx＋ax2，g(x)＝xln . (1)当a＝0时，求函数f(x)在[－π，π]上的极值； (2)用max{m，n}表示m，n中的最大值，记函数h(x)＝max{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论函数h(x)在(0，＋∞)上的零点个数． 6．(2023·天津和平区二模)已知函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，其中a>1， (1)若h(x)＝(x>0)， (ⅰ)当a＝2时，求h(x)的单调区间； (ⅱ)曲线y＝h(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围； (2)证明：当a≥e时，存在直线l，使直线l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线． 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　　第4讲　利用导数研究函数的零点问题 　(2023·云南统考模拟预测)已知函数f(x)＝sinx－在点(0，f(0))处的切线l与直线n：x－y＝0垂直． (1)求切线l的方程； (2)判断f(x)在(0，π)上零点的个数，并说明理由． 解　(1)f′(x)＝cosx－， 所以切线的斜率k＝f′(0)＝－a， 由题意k×1＝－a×1＝－1， 解得a＝1. 所以f(x)＝sinx－， 所以f(0)＝sin0－＝1， 所以切线l的方程为y－1＝－1×(x－0)， 即x＋y－1＝0. (2)由(1)知f(x)＝sinx－， 由f(x)＝sinx－＝0，可得ex·sinx－x＋1＝0， 令g(x)＝ex·sinx－x＋1，x∈(0，π)， 所以g′(x)＝(sinx＋cosx)ex－1. ①当x∈时，sinx＋cosx≥1，ex>1