专题七：第3讲利用导数研究函数的单调性、极值、最值讲义-2024届高三数学二轮复习

　第3讲　利用导数研究函数的单调性、极值、最值 　已知函数f(x)＝a＋ln x(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性． 举一反三 1．已知函数f(x)＝ln x－，a∈R.若函数f(x)在区间(0，1]上单调递增，求实数a的取值范围． 2．求函数f(x)＝x2＋πx－πsinx在上的单调区间． 　(2023·山东济南二模)已知函数f(x)＝. (1)当a＝0时，求f(x)在区间[1，e]上的值域； (2)若f(x)有唯一的极值点，求a的取值范围． 举一反三 1．已知函数f(x)＝. (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为－1，求a的值； (2)若f(x)在(1，＋∞)上有最大值，求a的取值范围． 2．(2023·宁夏银川模拟)f(x)＝ax2＋ln x－(a＋1)x. (1)当a＝－4时，求f(x)的单调区间与极值； (2)当a>0时，设g(x)＝，若g(x)既有极大值又有极小值，求a的取值范围． 综合测试 1．(2023·北京高考)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； (3)求f(x)的极值点个数． 2．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝·ln (1＋x)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由； (3)若f(x)在(0，＋∞)存在极值，求a的取值范围． 3.已知函数f(x)＝(x2＋ax－a)e1－x，其中a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)证明：a≥0是函数f(x)存在最小值的充分不必要条件． 强化训练 1．(2023·浙江金华浦江中学阶段练习)设x1，x2是函数f(x)＝ln x＋x2－(a＋2)x的两个极值点，其中x1<x2，a∈R. (1)求实数a的取值范围； (2)若a≥＋－2，求f(x2)－f(x1)的最大值(注：e是自然对数的底数)． 2．已知函数f(x)＝x2－x＋acosx＋sinx. (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若函数f(x)在上单调递减，求a的取值范围． 3．已知f(x)＝ln (ax＋b)－x，其中a>0，b>0. (1)求f(x)在[0，＋∞)上为减函数的充要条件； (2)求y＝f(x2)在(－∞，＋∞)上的最大值． 4．(2023·吉林长春高三模拟)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)当a＝3时，求f(x)的极值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若a>0，求f(x)在[0，1]上的最小值． 5．(2023·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝(x－k－3)ex－x. (1)讨论函数f(x)的极值点的个数； (2)当f(x)恰有一个极值点x0时，求实数k的值，使得f(x0)取得最大值． 6．(2023·福建省质量检测)已知函数f(x)＝(x＋a)ex，a∈R. (1)讨论f(x)在上的单调性； (2)是否存在a，x0，x1，且x0≠x1，使得曲线y＝f(x)在x＝x0和x＝x1处有相同的切线？证明你的结论． 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　第3讲　利用导数研究函数的单调性、极值、最值 　已知函数f(x)＝a＋ln x(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性． 解　因为f(x)＝a＋ln x(x>0)， 所以f′(x)＝a－a＋＝. 令t(x)＝－ax2＋x－a， 当a＝0时，f(x)＝ln x，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a<0时，t(x)图象的对称轴是直线x＝<0， 故t(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以t(x)＞t(0)＝－a>0， 所以f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时， (ⅰ)若Δ＝1－4a2≤0， 即当a≥时，t(x) ≤0， 即f′(x) ≤0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (ⅱ)若Δ＝1－4a2>0，即当0<a<时，t(x)＝0有两个根x1，x2，且满足x1＋x2＝>0，x1x2＝1， 故x1>0，x2>0， 设x1<x2， 即x1＝，x2＝， 当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)<0， 当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0， 故函数f(x)在(x1，x2)上单调递增，在(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递减． 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a<时，f(x)在上单调递增，在和上单调递减； 当a≥时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 举一反三 1．已知函数f(x)＝ln x－，a∈R.若函数f(x)