专题六：第3讲定点与定值问题、存在性问题讲义-2024届高三数学二轮复习

　　第3讲　定点与定值问题、存在性问题 　已知椭圆C的中心为O，离心率为.圆O在C的内部，半径为.P，Q分别为C和圆O上的动点，且P，Q两点的最小距离为1－. (1)建立适当的坐标系，求椭圆C的标准方程； (2)A，B是C上不同的两点，且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上．求证：以AB为直径的圆过定点． 举一反三 1．(2023·河北石家庄一模)已知点P(4，3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，过点P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于点M，N，|PM|·|PN|＝4. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，从下面两个条件中选一个(多选只按先做给分)，证明：直线l过定点． ①k1＋k2＝1；②k1k2＝1. 2．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的点为M(x，y)，且z满足|z＋2|－|z－2|＝2，点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设A(－1，0)，B(1，0)，若过F(2，0)的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R.证明： (ⅰ)点R在定直线上； (ⅱ)若直线AQ与BP交于点S，则RF⊥SF. 　(2023·福建省高考适应性练习)已知圆A1：(x＋1)2＋y2＝16，直线l1过点A2(1，0)且与圆A1交于点B，C，BC的中点为D，过A2C的中点E且平行于A1D的直线交A1C于点P，记点P的轨迹为Γ. (1)求Γ的方程； (2)坐标原点O关于A1，A2的对称点分别为B1，B2，点A1，A2关于直线y＝x的对称点分别为C1，C2，过A1的直线l2与Γ交于M，N两点，直线B1M与B2N相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明． ①△QB1C1的面积是定值；②△QB1B2的面积是定值；③△QC1C2的面积是定值． 举一反三 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E的坐标为(1，0)，经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l的斜率存在且不为0. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AM，AN分别交直线x＝4于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，k′，求证：kk′为定值． 　已知动圆过点F(0，1)，且与直线l：y＝－1相切． (1)求动圆圆心的轨迹E的方程； (2)点P为一动点，过P作曲线E的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，且PA⊥PB，直线AB与圆x2＋y2＝4相交于C，D两点，设点P到直线AB的距离为d，是否存在点P，使得|AB||CD|＝4d2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 举一反三 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为－，点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知点F(1，0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 综合测试 1．(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上． 3．(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)． (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 4.一种作图工具如图1所示，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且|DN|＝|ON|＝1，|MN|＝3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求曲线C的方程； (2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 强化训练 1．(2023·安徽黄山二模)已知拋物线C：y2＝2px(p>0)，F为焦点，若圆E：(x－1)