专题六：第2讲求圆锥曲线的方程及计算、证明、 最值与范围问题讲义-2024届高三数学二轮复习

第2讲　求圆锥曲线的方程及计算、证明、 　　　最值与范围问题 　(2023·江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆E：(x＋2)2＋y2＝4和定点F(2，0)，P为圆E上的动点，线段PF的垂直平分线与直线PE交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C与x轴正半轴交于点A，过点T(t，0)(－1<t<1)的直线l与曲线C交于点M，N(异于点A)，直线MA，NA与直线x＝t分别交于点G，H.若F，A，G，H四点共圆，求实数t的值． 举一反三 (2023·河南开封模拟)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点F(1，0)且与直线x＝－1相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜率为k(k≠±2)的直线l与C交于A，B两点，点P是C上的一点，且OP∥l，直线OP与直线x＝1交于点Q，点M是线段PQ的中点，求的值． 　(2023·四省联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点A(4，3)，且焦距为10. (1)求C的方程； (2)已知点B(4，－3)，D(2，0)，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：＝. 举一反三 已知圆M：(x＋2)2＋y2＝的圆心为M，圆N：(x－2)2＋y2＝的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知定点P，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：∠APN＝∠BPN. 　在△ABC中，A，B的坐标分别是(－，0)，(，0)，点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|＝|MB|. (1)求△ABC的顶点C的轨迹E的方程； (2)直线l：y＝kx＋m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点)，求m的取值范围． 举一反三 (2023·广东广州二模)已知点F(1，0)，P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C. (1)求C的方程； (2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求直线l的方程． 综合测试 1．(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且|AB|＝4. (1)求p； (2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，·＝0，求△MNF面积的最小值． 2.(2023·新课标Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程； (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3. 3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线x＝3交于M，N两点，设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，求的最小值． 强化训练 1．(2023·山东菏泽二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3，0)，点P为动点，点Q为线段PA的中点，直线PA与直线OQ的斜率之积为－. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设过点F(－2，0)且不与坐标轴垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点B，若点B的横坐标xB>－，求|MN|的取值范围． 2．(2023·唐山二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上一点，B为准线l上一点，＝2，|AB|＝9. (1)求抛物线C的方程； (2)M，N，E(x0，－2)是C上的三点，若kEM＋kEN＝－，求点E到直线MN距离的最大值． 3．(2023·辽宁实验中学模拟)已知一动圆与圆E：(x＋3)2＋y2＝18外切，与圆F：(x－3)2＋y2＝2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)直线l与C交于A，B两点，点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，从下面①②③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立． ①P(8，1)；②|AP|·|BQ|＝|BP|·|AQ|；③Q是直线l与直线x－y－1＝0的交点． 注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分． 4．(2023·江苏南通二模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E交于A，B两点，与直线x＝－2交于点M. (1)若M(－2，－1)，求证：|MA|·|BF|＝|MB|·|AF|； (2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C，D两点，与直线x＝－2相交于点N.求＋＋＋的最大值． 5．设A(2，n)是抛物线E：x2＝4y上一点，不过点A的直线l交E于M