专题五：第4讲随机变量及其分布列讲义-2024届高三数学二轮复习

　　 第4讲　随机变量及其分布列 　(2023·山东济南一模)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩xi (分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算 (xi－)2＝1690，x＝33050. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)． 附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973. 举一反三 1．(2023·四省联考)一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目． (1)若N＝5000，求X的数学期望； (2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(以使得P(X＝15)最大的N的值作为N的估计值)． 2．2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象．主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖．已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者(以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者)的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下： 心理价位(元/件) 90 100 110 120 人数 10 20 50 20 假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品．公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品．设这款纪念品的销售价格为x(单位：元/件)，90<x≤120，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立．用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率． (1)若x＝100，试估计消费者购买该纪念品的概率．已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望E(X)； (2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y(单位：元)，当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望E(Y)达到最大值？ 　为弘扬中华传统文化，吸收前人在修身、处世、治国、理政等方面的智慧和经验，养浩然正气，塑高尚人格，不断提高学生的人文素质和精神境界，某校举行传统文化知识竞赛活动．竞赛共有“儒”和“道”两类题，每类各5题．其中每答对1题“儒”题得10分，答错得0分；每答对1题“道”题得20分，答错扣5分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4题回答(每个题抽后不放回)，要求“道”题中至少抽2题作答．已知小明同学“儒”题中有4题会作答，答对各个“道”题的概率均为. (1)若小明同学在“儒”题中只抽1题作答，求他在这次竞赛中得分为35分的概率； (2)若小明同学第1题是从“儒”题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，应从“道”题中抽取几题作答？ 举一反三 (2023·辽宁葫芦岛一模)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 综合测试 1．(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为