专题五：第3讲成对数据的统计分析讲义-2024届高三数学二轮复习

第3讲　成对数据的统计分析 　(2023·福建厦门二模)移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．如图是2018～2022年移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份2018～2022对应的t分别为1～5. (1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度； (2)①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型(随机误差ei＝yi－bxi)．请推导：当随机误差平方和Q＝e取得最小值时，参数b的最小二乘估计； ②令变量x＝t－t，y＝w－，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用①中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数． 附：样本相关系数r＝， (wi－)2＝76.9， (ti－)(wi－)＝27.2，wi＝60.8，≈27.7. 举一反三 (2023·山东潍坊一模)某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y(单位：cm)与父亲身高x(单位：cm)之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表： 父亲身高x 160 170 175 185 190 儿子身高y 170 174 175 180 186 (1)根据表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并利用经验回归方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？ (2)记i＝yi－i＝yi－xi－(i＝1，2，…，n)，其中yi为观测值，i为预测值，i为对应(xi，yi)的残差．求(1)中儿子身高的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由． 参考数据及公式：xi＝880，x＝155450，yi＝885，xiyi＝156045，＝，＝－. 　“不关注分数，就是对学生的今天不负责；只关注分数，就是对学生的未来不负责．”为锻炼学生的综合实践能力，长沙市某中学组织学生对雨花区一家奶茶店的营业情况进行调查统计，得到的数据如下： 月份x 2 4 6 8 10 12 净利润y(万元) 0.9 2.0 4.2 3.9 5.2 5.1 (1)设μi＝ln xi，vi＝，试建立y关于x的非线性经验回归方程＝ln x＋和＝＋(系数保留两位有效数字)； (2)从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好，并据此预测次年2月(x＝14)的净利润(保留一位小数)． 附：①相关系数r＝，经验回归直线＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. ②参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6，ln 7≈1.9，≈1.4，≈2.4，≈2.8，≈3.2，≈3.5，≈3.7，≈57.6，≈67.7. 举一反三 (2023·广东广州二模)一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x(单位：千万元)对每件产品成本y(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi(i＝1，2，3，…，10)的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得＝6.8，＝70， ＝3， ＝1.6， ＝350. (1)根据散点图可知，可用函数模型y＝＋a拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程； (2)已知该产品的年销售额m(单位：千万元)与每件产品成本y的关系为m＝－＋＋＋100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？(注：年利润＝年销售额－年投入成本) 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 　(2023·东北三省三校一模)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表： 天数 [0，5] (5，10] (10，15] (15，20] (20，25] (25，30] 人数 4 15 33 31 11 6 (1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼的天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)； (2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在