专题四：空间向量与立体几何第3讲空间位置关系的证明与空间角的计算-2024届高三数学二轮复习讲义

第3讲　空间位置关系的证明与空间角的计算 　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高． 举一反三 (2023·成都模拟)如图，多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，△ADE是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB＝2，CF＝，∠BAD＝. (1)求证：EF∥平面ABCD； (2)求三棱锥E－ADF的体积． 　如图，圆台上底面圆O1的半径为1，下底面圆O2的半径为，AB为圆台下底面的一条直径，圆O2上点C满足AC＝BC，PO1是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面ABO1的同侧，且PO1∥BC. (1)证明：平面PAC⊥平面ABC； (2)若圆台的高为2，求直线AO1与平面PBC所成角的正弦值． 举一反三 (2023·海南华侨中学一模)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，M是侧面PBC上一点． (1)过点M作一个截面α，使得PA，BC都与α平行．作出α与四棱锥P－ABCD表面的交线，并证明； (2)设＝λ＋，其中λ∈.若PB与平面MCD所成角的正弦值为，求λ的值． 　如图，圆柱OO1的轴截面ABB1A1是一个边长为2的正方形，点D为棱BB1的中点，C1为弧上一点，且∠C1O1B1＝. (1)求三棱锥D－C1OO1的体积； (2)求二面角C1－OD－O1的余弦值． 举一反三 (2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD＝DO，点F在AC上，BF⊥AO. (1)证明：EF∥平面ADO； (2)证明：平面ADO⊥平面BEF； (3)求二面角D－AO－C的正弦值． 综合测试 1．(2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点． (1)证明：BC⊥DA； (2)点F满足＝，求二面角D－AB－F的正弦值． 2．(2022·新高考Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值． 3．(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中点． (1)证明：OE∥平面PAC； (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值． 4.如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心．圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝2，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形． (1)设平面POH∩平面PBC＝l，证明：l∥BC； (2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN的长． 强化训练 1．(2023·大连模拟)已知多面体ABCDEF中，AD∥BC∥EF，且AD＝CD＝DE＝4，BC＝EF＝2，∠BCD＝∠FED＝. (1)证明：AD⊥BF； (2)若BF＝2，求二面角C－AF－B的余弦值． 2．(2023·葫芦岛一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝PD，AB⊥PA，AD＝4，AB＝BC＝2，E为PD的中点． (1)求证：CE∥平面PAB； (2)从①四棱锥VP－ABCD＝4；②直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为这两个条件中选择一个作为已知条件，求点D到平面PAB的距离． 3．(2023·日照二模)如图，矩形BCDE所在平面与△ABC所在平面垂直，∠ACB＝90°，BE＝2. (1)证明：DE⊥平面ACD； (2)若平面ADE与平面ABC夹角的余弦值是，且直线AE与平面BCDE所成角的正弦值是，求异面直线DE与AB所成角的余弦值． 4．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，BC＝4，AB＝AD＝DC＝AA1＝2，Q为AD的中点，平面α经过直线AC1，CQ∥α，α∩平面ADD1A1＝直线l. (1)请在图中画出直线l，写出画法并说明理由； (2)求平面α与平面ADD1A1所成角的余弦值． 5．(2023·保定一模)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长均为，底面ABCD为正方形，∠A1AB＝∠A1AD＝，E为BB1的中点，F为CC1的中点，O为AC的中点，动点P在平面ABCD内． (1)求证：A1O⊥AO； (2)若FP∥平面D1AE，求线段CP长度的最小值． 6．如图，四棱