专题四：空间向量与立体几何 第2讲线面位置关系及距离、空间角问题-2024届高三数学二轮复习讲义

第2讲　线面位置关系及距离、空间角问题 　(1)已知侧棱和底面垂直的三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为3，D为侧棱CC1的中点，M为侧棱AA1上一点，且A1M＝1，N为B1C1上一点，且MN∥平面ABD，则NB1的长为(　　) A．1 B．2 C． D． (2)(多选)(2023·华中师范大学附中模拟)如图，在已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，M，N，P分别是BC，BB1，A1D，AA1的中点，以下说法正确的是(　　) A．若BC＝1，AA1＝，则PD⊥BC1 B．MN∥CD C．MN∥平面C1DE D．若AB＝BC，则平面AA1C1C⊥平面A1BD (3)(多选)(2023·苏州一模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，＝λ，＝μ1，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列说法中正确的是(　　) A．若PQ⊂平面AB1C，则λ＋μ＝ B．若PQ∥平面ABCD，则λ＝μ＝ C．存在λ，μ，使得PQ＝ D．存在λ，使得对于任意的μ，都有PQ⊥BD 举一反三 1．(2023·深圳中学押题卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点，则下列命题中为假命题的是(　　) A．存在点P，使得PQ⊥A1C1 B．存在点P，使得PQ∥A1B C．直线PQ始终与直线CC1异面 D．直线PQ始终与直线BC1异面 2．(多选)在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N，Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是(　　) 　(1)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝2.D，E，F分别是BB1，AA1，A1C1的中点，则直线EF与CD所成角的余弦值为(　　) A． B． C．－ D．0 (2)(多选)(2023·滁州一模)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AE＝BC＝2，AB＝AD＝1，CF＝，则(　　) A．BD⊥EC B．BF∥平面ADE C．二面角E－BD－F的余弦值为 D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 举一反三 1．(2023·海南华侨中学一模)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 2．(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝4，则下列命题为真命题的是(　　) A．若直线AC1与直线CD所成的角为φ，则tanφ＝ B．若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面BCC1B1交于点M，则AM＝ C．若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则sinθ＝ D．若经过点A的平面β与长方体所有面的夹角都为μ，则sinμ＝ 　(1)已知圆锥的顶点为S，底面圆心为点O，高是底面半径r的倍，点A，B是底面圆周上的两点，若△SAB是等边三角形，则O到平面SAB的距离为(　　) A．r B．r C．r D．r (2)(多选)(2023·海口模拟)如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则(　　) A．直线FC1与底面ABCD所成的角为30° B．平面AB1E与底面ABCD夹角的余弦值为 C．直线FC1与直线AE的距离为 D．直线FC1与平面AB1E的距离为 举一反三 1．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(　　) A． B． C． D． 2．(2023·徐州模拟)如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝10，BC＝6，CD⊥平面ABC，E为AD的中点，且________，则点A到平面BCE的距离为(　　) ①异面直线BE与AC所成的角为60°； ②三棱锥D－BEC的体积为16. 注：从以上两个条件中任选一个，补充在横线上并作答． A． B． C． D． 综合测试 1．(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C－AB－D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． 2．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角