专题四：空间向量与立体几何第1讲空间几何体的表面积、体积问题-2024届高三数学二轮复习讲义

　第1讲　空间几何体的表面积、体积问题 　(1)(2023·日照一模)红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分．如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积S＝2πRh.如图1，已知该灯笼的高为58 cm，圆柱的高为5 cm，圆柱的底面圆直径为14 cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为(　　) A．1940π cm2 B．2350π cm2 C．2400π cm2 D．2540π cm2 (2)距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的是一种茅屋，如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道，甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一端与茅屋的这个侧面连在一起，另一端是一个等腰直角三角形．图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为6 m，BC∥EF，AB＝AC＝2 m，AB⊥AC，点D在正四棱锥的斜高PH上，AD⊥平面ABC且AD＝3 m．不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋(含甬道)的室内容积为(　　) A． m3 B． m3 C． m3 D．44 m3 (3)(2023·济南二模)已知圆锥侧面展开图的周长为4＋2π，面积为2π，则该圆锥的体积为________． 举一反三 1．(多选)三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2 cm，外径长3 cm，筒高4 cm，中部为边长是3 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则(　　) A．该玉琮的体积为18＋(cm3) B．该玉琮的体积为27－(cm3) C．该玉琮的表面积为54＋π(cm2) D．该玉琮的表面积为54＋9π(cm2) 2．(2023·泰州一模)如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是(　　) A．15π B．36π C．45π D．48π 3．(2023·淮北一模)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC＝120°，棱长均为4，AB，CC1的中点分别为P，Q，则三棱锥P－A1D1Q的体积为________． 　(1)(2023·聊城二模)某正四棱台形状的模型，其上、下底面的面积分别为2 cm2，8 cm2，若该模型的体积为14 cm3，则该模型外接球的表面积为(　　) A．20π cm2 B．10π cm2 C．5π cm2 D． cm2 (2)(2023·诸暨模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为AD，B1C1上的点，AE＝C1F＝1，P，Q分别为BB1，C1D1上的动点．若点A，B，P，Q在同一球面上，当PQ⊥平面A1EF时，该球的表面积为________． 举一反三 1．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝，PA＝AB＝3，BC＝6，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________． 2．(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________． 　(1)(2023·南京三模)约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比2∶1恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢？经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面．在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型．根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为(　　) A． B．3 C．3 D．9 (2)(2023·深圳模拟)如图，已知球的表面积为16π，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和侧面都相切，则圆锥体积的最小值为________． 举一反三 1．(2023·九江三模)如图，半径为1的四分之一球形状的玩具储物盒，放