精品解析：湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

常德市一中2023年下学期高二年级期末考试试卷 数 学 （时量：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则 A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 不存 2. 已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为（ ） A. 3x2＋3x B. 3x2＋3x·ln 3＋ C. 3x2＋3x·ln 3 D. x3＋3x·ln 3 3. 已知向量，分别是直线l与平面α方向向量、法向量，若，则l与α所成的角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 短轴长为，离心率椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为 A. B. C. D. 5. 各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 6. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则当该圆柱的体积取最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，且，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（　　） A. 若为等差数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若为等差数列，则 D. 若，则也为等差数列，且公差为 11. 已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（ ） A. 最短为 B. 最短时，弦所在直线方程为 C. 存点，使得 D. 直线过定点 12. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面四边形（包含边界）上移动，且满足，下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 的最小值为 C. 的长度的最大值为 D. 的长度的最小值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在4和67之间插入一个项的等差数列后，组成一个项的新等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则的值为______. 14. ．如图函数F(x)＝f(x)＋x2的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________. 15. 已知动直线与圆恒有两个不同的交点、.设弦的中点为，当变化时，总存在定点使得为定值，则点的坐标______. 16. 过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，若，则双曲线离心率的取值范围是___________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求圆心在上，与轴相切，且被直线截得弦长为的圆的方程. 18. 数列满足，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 19. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 20. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求； （3）设，数列的前项和为，且对一切成立，求实数的取值范围. 21. 已知椭圆：的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程． （2）过点的直线交椭圆于、两点，求为原点面积的最大值． 22. 已知函数有三个不同的极值点，，，且. （1）求实数a的取值范围； （2）若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常德市一中2023年下学期高二年级期末考试试卷 数 学 （时量：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则 A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合倾斜角的定义确定倾斜角即可. 【详解】绘制直线如图所示，由直线倾斜角的定义可知等于. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查直线方程的理解，直线倾斜角的定义及其确定等知识，意在考查学生的转化能力和概念掌握程度. 2. 已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为（ ） A. 3x2＋3x B. 3x2＋3x·ln 3＋ C. 3x2＋3x·ln 3 D. x3