专题三数列：第2讲数列求和及综合问题-2024届高三数学二轮复习讲义

　第2讲　数列求和及综合问题 　(2023·广东一模)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足an(2Sn－an)＝1(n∈N*)． (1)求证数列{S}是等差数列，并求出Sn的表达式； (2)数列{an}中是否存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得，，构成等差数列？请说明理由． 举一反三 (2023·宿迁模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，数列{bn}满足b1＝，且对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{bn}为等差数列； (3)令cn＝2bn－3，问是否存在正整数m，k，使得cm，cm＋5，ck成等比数列？若存在，求出m，k的值，若不存在，说明理由． 　(1)(2023·山东模拟)已知数列{an}满足an＋1＝2an－1，a1＋a2＝a3. ①求{an}的通项公式； ②若bn＝2n－1，数列{cn}满足c4n－3＝b2n－1，c4n－2＝a2n－1，c4n－1＝a2n，c4n＝b2n，求{cn}的前4n＋1项和S4n＋1. (2)(2023·威海一模)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，且2Sn＝a＋an. ①求数列{an}的通项公式； ②记cn＝(－1)nanan＋1，求数列{cn}的前n项和Tn. 举一反三 1．(2023·八省联考)已知数列{ln an}是等差数列，记Sn为{an}的前n项和，{Sn＋a1}是等比数列，a1＝1. (1)求an； (2)记bn＝log2a2n－1＋log2a2n，求数列{(－1)n·b}的前10项和． 2．若数列{an}满足an＋m＝an＋d(m∈N*，d是不等于0的常数)对任意n∈N*恒成立，则称{an}是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝4n＋1(n∈N*)． (1)求证{an}是周期为2的“类周期等差数列”，并求a2，a2024的值； (2)若数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)，求{bn}的前n项和Tn. 　(2023·菏泽一模)已知数列{an}，{bn}满足anb1＋an－1b2＋…＋a1bn＝2n－－1，其中an＝2n. (1)求b1，b2的值及数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和． 举一反三 (2023·邵阳模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝5，S9＝81，数列{bn}满足a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n－1)·3n＋1＋3. (1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式； (2)数列{cn}满足cn＝求{cn}的前2n项和T2n. 　(2023·南京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝3Sn＋2，数列{bn}满足b1＝2，＝，其中n∈N*. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为cn的等差数列，求数列{bncn}的前n项和Tn. 举一反三 　(2023·石家庄二模)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，2an＋1＝Sn＋2(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足bn＝an×(logan－1)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 　(2023·大连模拟)在①a3＝5，S9＝63；②3a2＝a10，S2＝7；③a1＝3，S8－S6＝19这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，________，数列{bn}是公比为2的等比数列，且b2＝a2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前4n＋3项和T4n＋3. 举一反三 　(2023·泉州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，________． 在①an＋2－an＝4；②an＋1＋an＝4n；③Sn＝nan＋1－n(n＋1)这三个条件中任选一个，补充在上面横线处，并解答下面的问题． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{(－1)n·Sn}的前20项和T20. 　(2023·广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋2n＝2an＋1. (1)求a1，并证明数列是等差数列； (2)若2a<S2k，求正整数k的所有取值． 举一反三 (2023·盐城三模)图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数q，a1，1>0，