河南省洛阳市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

2023-2024学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.若平面的法向量为,直线的方向向量为,,则下列四组向量中能使的是( ) A. , B. , C. , D. , 3.周髀算经中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺,前八个节气日影长之和为尺,则谷雨日影长为( ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 5.椭圆的左、右顶点分别是,,椭圆的左焦点和中心分别是,已知是,的等比中项,则此椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 6.已知等比数列的首项为,前项和为,若,则( ) A. B. C. D. 7.若圆上总存在两个点到点的距离为,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知为双曲线左支上一点,,分别为双曲线的左、右焦点,为的内心若,则点到焦点的距离是( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9.已知双曲线:,则( ) A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的虚轴长为 C. 双曲线的实半轴长为 D. 双曲线的渐近线方程为 10.三棱锥中,平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为( ) A. B. C. D. 11.已知,,直线,相交于,直线,的斜率分别为,,则( ) A. 当时,点的轨迹为除去,两点的椭圆 B. 当时,点的轨迹为除去,两点的圆 C. 当时,点的轨迹为除去,两点的双曲线 D. 当时,点的轨迹为除去,两点的抛物线 12.数列满足,,数列的前项和为,且,则下列正确的是( ) A. 是数列中的项 B. 数列是首项为,公比为的等比数列 C. 数列的前项和 D. 数列的前项和 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知直线:与:平行,则 _. 14.已知抛物线:的焦点为,点是抛物线的准线与轴的交点,点在抛物线上点在第一象限,若,则 _. 15.已知数列的前项的积为,且,则满足的最小正整数的值为_. 16.已知,两点均在双曲线:的右支上,若恒成立,则实数的取值范围为_. 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知数列是等差数列,满足,,数列是公比为的等比数列,且. 求数列和的通项公式; 求数列的前项和. 18.本小题分 已知圆:. 若直线过定点,且与圆相切,求的方程; 若圆的半径为,圆心在直线:上,且与圆外切,求圆的方程. 19.本小题分 如图,在正三棱柱中,,,为侧棱上的点,且,点,分别为,的中点. 求异面直线与所成角的余弦值; 求直线与平面所成角的正弦值. 20.本小题分 已知数列的前项和为,,,. 求数列的通项公式; 令,求数列的前项和. 21.本小题分 已知椭圆:的短轴长为,且椭圆经过点. 求椭圆的方程; 若过点的直线与椭圆相交于,两点,且,求直线的方程. 22.本小题分 在平面直角坐标系中,已知点,直线:,点在直线上移动,是线段与轴的交点,动点满足:,. 求动点的轨迹的方程; 过点的直线交轨迹于,两点,过点作轴的垂线交直线于点,过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为,的中点为,证明:,,三点共线.