2024年中考数学一轮复习解答题——二次函数与相似三角形问题

2024年九年级中考数学解答题一轮复习—— 二次函数与相似三角形问题 1．设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB=90度． (1)求m的值； (2)求抛物线的解析式，并验证点D（1，﹣3）是否在抛物线上； (3)已知过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出点A的坐标_______，及直线BC的函数关系表达式_______； （2）在抛物线上是否存在点M（点M与C不重合），使△MAB的面积与△CAB的面积相等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于E，与y轴交于点F，点P的横坐标为m，当CE平分∠OCB时，求出点F的坐标． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点为抛物线的顶点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）设，，求的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C三点为顶点的三角形与相似，若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点，且OC=3OA，对称轴x=1交抛物线于D点． （1）求抛物线解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上找点E使S△BCD=S△BCE，求E点的坐标； （3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点M，过M作MN⊥x轴于N点，使△BMN与△BCD相似？若存在，请求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx （a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标； （3）如图2，若异于点A的点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，求点N的坐标； （4）在（2）与（3）的条件下，请直接写出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标． 6．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求点A，点C的坐标； (2)如图2，连结AC，DC，过点C作交抛物线于点E．求证：∠DCE＝∠CAO； (3)如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长． 7．如图，抛物线经过坐标原点与点，正比例函数与抛物线交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是第四象限抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，是否存在点，使得与以点、、为顶点的三角形相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． (1)求点的坐标和抛物线的解析式； (2)为线段上的动点（不与点O．A重合），过点作垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，. ①用含m的代数式表示线段PN的长； ②若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 9．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)设线段上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线轴，交抛物线于点N．是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的横坐标t；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为，C点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由． (3)图2中，点C和点关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且，求M点的横坐标． 11．如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)连接，交线段于点，求的最大值； (3)连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线交x轴于点A和点B（A在B左边），与y轴交于点C，P是抛物线上第一象限内的一个动点 (1)求A，B，C三点的坐标； (2)连接交线段于点D，当与x轴不平行时，的最大值 ； (3)若直线交于点M，是否存在这样的点P，使以B、O、M为顶点的