第1讲 函数与方程思想 讲义——2024届高三数学二轮复习

第1讲　函数与方程思想 　(1)(2023·山西晋中三模)设a＝2，b＝e，c＝3，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<a<c D．c<b<a (2)(2023·南平模拟)对任意的x1，x2∈(1，3]，当x1<x2时，x1－x2－ln >0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．[9，＋∞) D．(9，＋∞) 专项测试 1．(2023·湖南长沙模拟)已知cos5θ－sin5θ<7(sin3θ－cos3θ)，θ∈[0，2π)，则θ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．(2023·黑龙江哈九中五模)不等式x<sin＋的解集为________． 　(1)(2023·福建龙岩教学质量检测)已知数列{an}满足a1＝－，3(an＋1)(an＋1＋1)＝an－an＋1，设bn＝，若b5为数列{bn}中唯一的最小项，则实数λ的取值范围是(　　) A．(8，10) B．(9，11) C．(10，12) D．(11，13) (2)(2023·广东汕头三模)将一个体积为36π的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为(　　) A．16 B．16 C．8 D．8 专项测试 1．(多选)(2023·深圳模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则(　　) A．a5＝0 B．{an}的前n项和中S5最小 C．nSn的最小值为－49 D．的最大值为0 2．(2023·江西九江三模)如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为△A1BD内一点(包括边界)，且线段PA1的长度等于点P到平面ABCD的距离，则线段PA1长度的最小值是(　　) A． B． C．2－ D．3－ 3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若|F1F2|＝2|OM|，tan∠MF2F1≥2，则双曲线C的离心率的取值范围为________． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲　函数与方程思想 　(1)(2023·山西晋中三模)设a＝2，b＝e，c＝3，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<a<c D．c<b<a 答案　A 解析　只需比较ln 2，ln e，ln 3的大小，令f(x)＝，则f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，又ln 2＝ln 4，故ln 2＝ln 4<ln 3<ln e，即a<c<b.故选A. (2)(2023·南平模拟)对任意的x1，x2∈(1，3]，当x1<x2时，x1－x2－ln >0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．[9，＋∞) D．(9，＋∞) 答案　C 解析　x1－x2－ln >0，即x1－ln x1>x2－ln x2，令f(x)＝x－ln x，由题意得f(x)在(1，3]上单调递减，故f′(x)＝1－≤0，即a≥3x在(1，3]上恒成立，则a≥9.故选C. 专项测试 1．(2023·湖南长沙模拟)已知cos5θ－sin5θ<7(sin3θ－cos3θ)，θ∈[0，2π)，则θ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　不等式cos5θ－sin5θ<7(sin3θ－cos3θ)等价于sin3θ＋sin5θ>cos3θ＋cos5θ，又f(x)＝x3＋x5是(－∞，＋∞)上的增函数，所以sinθ>cosθ，故2kπ＋<θ<2kπ＋(k∈Z)．因为θ∈[0，2π)，所以θ的取值范围是.故选B. 2．(2023·黑龙江哈九中五模)不等式x<sin＋的解集为________． 答案　 解析　由x<sin＋，得x－sin－<0，令f(x)＝x－sin－，则f′(x)＝1－cos，因为cos ∈[－1，1]，所以cos ∈，所以f′(x)＝1－cos>0，所以函数f(x)＝x－sin－为增函数，又f＝－－＝0，则x<，即不等式x<sin＋的解集为. 　(1)(2023·福建龙岩教学质量检测)已知数列{an}满足a1＝－，3(an＋1)(an＋1＋1)＝an－an＋1，设bn＝，若b5为数列{bn}中唯一的最小项，则实数λ的取值范围是(　　) A．(8，10) B．(9，11) C．(10，12) D．(11，13) 答案　B 解析　由3(an＋1)(an＋1＋1)＝an－an＋1，得3(an＋1)(an＋1＋1)＝(an＋1)－(an＋1＋1)，又因为a1＝－，an＋1≠0，所以－＝3，所以数列是首项为＝3，公差为3的等差数列，则＝3＋3(n－1)＝3n，所以bn＝3n(n－λ)＝3n2－3λn，要使b5为数列{bn}中唯一的