第4讲 转化与化归思想 讲义——2024届高三数学二轮复习

第4讲　转化与化归思想 　(多选)(2023·河北唐山三模)函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则(　　) A．f′(x)为偶函数 B．f′(0)＝0 C．f(x)的图象关于(1，0)对称 D．若F(x)＝f(x)＋xf′(x)，则F′(x)为奇函数 专项测试 P是双曲线x2－y2＝1上一点，以线段PO(O为坐标原点)为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于不同于原点的A，B两点，则四边形PAOB的面积为(　　) A． B． C．1 D．2 　(1)(2023·安徽合肥四模)设5a＋1＝5ln 5，b＋e－3＝3，e3c＋1＝e6＋e3，则(　　) A．b<c<a B．a<b<c C．c<a<b D．c<b<a (2)(2023·新疆阿勒泰三模)正数a，b满足2a－4b＝log2b－log2a，则a与2b的大小关系为________． 专项测试 (2023·河北衡水中学一调)已知x1是函数f(x)＝x＋1－ln (x＋2)的零点，x2是函数g(x)＝x2－2ax＋4a＋4的零点，且满足|x1－x2|≤1，则实数a的最小值是(　　) A．－1 B．－2 C．2－2 D．1－ 　(2023·湖南益阳教学质量检测)甲、乙两人要在一排六个空座上就座，则甲、乙中间有空位的概率为________． 专项测试 已知函数f(x)＝ax2－x＋ln x在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值范围为________． 　(2023·重庆八中高三阶段练习)如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C(如图2)，则容器的高h为(　　) A．3 B．4 C．4 D．6 专项测试 　(2023·湖南邵阳三模)三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝4，AC＝2AB＝2，AC⊥AB，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲　转化与化归思想 　(多选)(2023·河北唐山三模)函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则(　　) A．f′(x)为偶函数 B．f′(0)＝0 C．f(x)的图象关于(1，0)对称 D．若F(x)＝f(x)＋xf′(x)，则F′(x)为奇函数 答案　AC 解析　由题意可设f(x)＝sinπx，则f′(x)＝πcosπx，即f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，故A正确；又f′(0)＝π，故B错误；显然f(1)＝0，故C正确；因为F(x)＝f(x)＋xf′(x)，则F(－x)＝f(－x)－xf′(－x)＝－f(x)－xf′(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数，由A项可知F′(x)为偶函数，故D错误．故选AC. 专项测试 P是双曲线x2－y2＝1上一点，以线段PO(O为坐标原点)为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于不同于原点的A，B两点，则四边形PAOB的面积为(　　) A． B． C．1 D．2 答案　B 解析　如图，由题意，点P为双曲线上任意一点，不妨设点P为双曲线的右顶点，即P(1，0)．易知双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的两条渐近线互相垂直．因为OP为圆的直径，点A，B在圆上，所以∠OAP＝∠OBP＝90°.又点P(1，0)到两条渐近线的距离均为，所以四边形PAOB为正方形，所以S四边形PAOB＝＝.故选B. 　(1)(2023·安徽合肥四模)设5a＋1＝5ln 5，b＋e－3＝3，e3c＋1＝e6＋e3，则(　　) A．b<c<a B．a<b<c C．c<a<b D．c<b<a 答案　B 解析　易知a＝ln 5－，b＝ln e3－.令f(x)＝ln x－(x>0)，则f′(x)＝＋＝>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又e3>5，所以ln e3－>ln 5－，即a<b，又c＝e3ee3－，则b－c＝ln e3－－e3ee3＋<0，即b<c.综上，a<b<c.故选B. (2)(2023·新疆阿勒泰三模)正数a，b满足2a－4b＝log2b－log2a，则a与2b的大小关系为________． 答案　a<2b 解析　因为2a－4b＝log2b－log2a，所以2a＋log2a＝4b＋log2b＝22b＋log2b＋log22－1＝22b＋log22b－1，设f(x)＝2x＋log2x，则f(a)＝f(2b)－1，所以f(a)<f(2b)，又y＝2x与y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a<2b.