2024年中考数学专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形）

2024年中考数学专题训练： 二次函数综合压轴题（相似三角形） 1．综合与探究 如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴交于点，对称轴是直线，交轴于点．    (1)求该二次函数及所在直线的解析式； (2)如图1，在线段上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交，轴于点，，连接．若和的面积分别为，，请直接写出的最大值． 2．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点(点B在y轴上)，与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)连接，求 (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知二次函数的图像与轴交于两点，其中点为，与轴负半轴交于点，其对称轴是直线．    (1)求二次函数的表达式； (2)圆为的外接圆，点是延长线上一点，的平分线交圆于点，连接、，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴上存在点，使得以为顶点的三角形与相似，则点坐标为______． 4．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，二次函数的图象经过，两点，并与轴交于点点是线段上一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点和点，连接． (1)求这个二次函数的解析式． (2)①求、的值（用含的代数式表示）． ②当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值． (3)点是平面内一点，是否存在以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线(a为常数，且)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．    (1)抛物线的对称轴为直线_______； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当(m为常数)时，y的最小值为，求m的值； (3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值． 6．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在与中，．所以称与为“阳似三角形”，连接，则为“阳似比”． (1)如图1，已知与为“阳似三角形”，其中，当时，“阳似比”______； (2)如图2，二次函数交x轴于点A和B两点，交y轴于点C．点M为直线在第一象限上的一个动点，且与为“阳似三角形”，连接， ①当点N落在二次函数图象上时，求出线段的长度； ②若，求的最小值． 7．如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点． (1)求二次函数的解析式及顶点的坐标； (2)过定点的直线与二次函数图象相交于M，两点． ①若，求的值； ②证明：无论为何值，恒为直角三角形； ③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式． 8．如图，二次函数经过点 ，，，点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线于E． (1)求此二次函数解析式及点D坐标 (2)连接，求三角形的面积 (3)当时，x的取值范围是___________ 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．若二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数最大值与最小值的差； (3)在二次函数图象上任取一点，其横坐标为．点在二次函数图象的对称轴上．若以点，，为顶点三角形是以为直角的等腰三角形．求点的坐标． 10．如图，二次函数图像交轴于点，（在的左侧），与轴交于点，轴，交抛物线于另一点，且，为抛物线上一点，轴，与轴交于，与，分别交于点，． (1)求二次函数解析式； (2)当在上方时，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出与的相似比，若不存在，说明理由． (3)点关于直线的对称点为，当点落在抛物线的对称轴上时，此时点的坐标为________． 11．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图象经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段OB上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D和点E，连接CD． (1)求这个二次函数的解析式． (2)①求DE、CE的值（用含m的代数式表示）． ②当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求m的值． (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图已