2024年中考数学二轮复习 不定点问题训练

不定点问题训练 不定点问题即点在直线或射线上的位置不确定，常分为点在某线段上或在线段的延长线上.解答此类题的关键是自主画图分析，注意分类讨论，不要丢解。 典型题 1、/新考向·综合与实践/如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰 Rt△ABC 中，CA=CB，∠C=90°，过点 B 作射线 BD⊥AB，垂足为 B，点 P 在 【动手操作】 (1)如图2，若点 P 在线段CB 上，画出线段 PA，并过点 P 作PE⊥PA 交 BD 于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE 的度数为 ； 【问题探究】 (2)根据(1)所画图形，探究线段PA与EP 之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，若点P在射线CB上移动，过点P作PA⊥PE交BD于点 E，探究线段BA，BP，BE 之间的数量关系. {解题思路}此题主要运用“一边一角构全等”构造辅助线. (1)根据题意画图即可；先求出再根据BD⊥AB得到∠ABD=90°，进而可求出∠PBE=∠ABC+∠ABE=45°+90°=135°； (2)由∠C 和∠APE 均为 90°可导角得出∠PAC=∠EPB，结合图形猜想 PA=EP，进而可利用“一边一角”构造全等三角形.构造PA所在三角形和PE所在的△PBE全等，目前只知一组等角(∠PAC=∠EPB)，还需2个条件，再由(1)，知∠PBE=135°，想到在PA所在的三角形中也有一个 135°角，∴在 AC上取一点F，使CP=CF，连接 PF(如图 1)，由此可得∠AFP=135°，且 PB=AF，进而可证△AFP≌△PBE，∴PA=EP； (3)由“点 P 在射线CB上移动”分两种情况： ①当点 P在线段 BC 上时，如图1，由△ABC 是等腰直角三角形，由(2)，知△PCF 也是等腰直角三角形，又BP=BC-PC，进而可得 即 ②当点P在线段CB的延长线上时，如图 2，同理(2)，利用“一边一角”构造全等三角形，过点 P作PG⊥PB交AB的延长线于点G，可得∠GPA=∠BPE，∠G=45°，进而可得易得∠EBP=45°=∠G，利用“ASA”证△GPA≌△BPE，∴GA=BE，由 GA-BA=BG，可得 BE- 2、/新考向·综合与实践/ 【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图 1，在中，P为CD 的中点，连接 AP，过点 P 作交直线BD于点E，求证： 同学们进行小组交流： 小超：可以利用证明两个三角形全等证得.锁定 PA 所在三角形ADP，在 PE 附近寻找或构造与之全等的三角形； 小越：是等腰直角三角形，又有P为底边 CD的中点，可以利用“三线合一”的性质证得全等 …… (1)请你完成证明 【特殊到一般】 (2)张老师将条件“P为CD的中点”改为“P 为线段CD上一点”，其他条件不变，如图 2，并提出如下问题，请你解答. ①此时PA与PE之间的数量关系为 ； ②求证： 【拓展延伸】 (3)下课前张老师又将“P为线段CD 上一点”改为“点P在射线CD上运动”，其他条件不变，并增加“若求BE的长”作为课后作业，请你完成作业. 3、 /新考回·综合与实践/ 【问题初探】 数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，已知是等边三角形，D是AB 边上一动点，延长BC至点E，使，连接DE交射线 AC 于点 F，求证： ①如图 2，小奕同学从是等边三角形这个条件出发，给出一种解题思路：过点D作 BC交AC于点G，构造等边将CF与BD的数量关系转化为CF与CG的数量关系； ②如图 3，小瑜同学由结论联想到三角形的中位线，给出另外一种解题思路：在线段CB上截取 ，连接 DH，将CF与BD的数量关系转化为CF与DH的数量关系. (1)请你选择其中一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 (2)小楠同学根据以上两名同学的解题思路进行了进一步的探究，如图4，若点D在线段AB的延长线上，其他条件不变，上述结论是否仍然成立? 请说明理由； 【学以致用】 (3)如图5，(2)的条件不变，连接 AE，若，求四边形BDFC的面积. 4.、/新考向·综合与实践/ 在正方形ABCD中，E，F为平面内两点， 【探究建模】 (1)如图1，当点E在边AB上时，，且 B，C，F三点共线.求证： 【类比应用】 (2)如图2，当点 E 在正方形ABCD 的外部时，且E，C，F 三点共线.猜想线段AE，CE，DE之间的数量关系，并证明； 【拓展迁移】 (3)如图 3，当点 E 在正方形ABCD 的外部时，且D，F，E 三点共线，DE与AB 交于点G，若求CE的