2024年中考数学专题训练：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）

2024年九年级数学中考专题训练: 二次函数综合压轴题(特殊四边形问题) 1.如图,抛物线过点,,矩形的边在线段上(点在点的左侧),点,在抛物线上.设动点坐标为. (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标; (2)当为何值时矩形的周长有最大值?最大值是多少? 2.在如图所示平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于点,,与y轴交于点. (1)求该抛物线的解析式; (2)点P是直线下方抛物线上一动点,求面积的最大值及此时点P的坐标; (3)将该抛物线向上平移个单位得到新的抛物线,点E是新抛物线上一点,点F是已知抛物线对称轴上一点,若以点B、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形,写出点E的坐标,并把求其中一个点E的过程写出来. 3.如图,一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C,二次函数的图像经过B,C两点,并与x轴交于点A.点是线段上一个动点(不与点O、B重合),过点M作x轴的垂线,分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E,连接. (1)求这个二次函数的解析式; (2)点F是平面内一点,是否存在以C,D,E,F为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 4.综合与探究 如图,某一次函数与二次函数的图象交点为,. (1)求抛物线的解析式; (2)点为抛物线对称轴上一动点,当与的和最小时,点的坐标为 ; (3)点为二次函数位于线段下方图象上一动点,过点作轴,交线段于点,求面积的最大值; (4)在(2)的条件下,点为轴上一点,点为直线上一点,点为平面直角坐标系内一点,若以点,,,为顶点的四边形是正方形,请直接写出点的坐标. 5.如图,已知直线与抛物线:相交于点和点两点. (1)求抛物线函数表达式; (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点,以为相邻的两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时,求此时平行四边形的面积及点的坐标; (3)在抛物线上是否存在点P,到对称轴的距离等于到直线的距离?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 6.如图1,抛物线与x轴交于和两点,与y轴交于点C. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点,过点P作轴交于点D,过点P作于点E,过点E作轴于点F,求出的最大值及此时点P的坐标; (3)如图2,将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线,与原抛物线相交于点M,点N为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点A,M,N,H为顶点的四边形为矩形,若存在,请直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由. 7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线(为常数)与一次函数(为常数)的图像交于两点,其中点坐标为. (1)求点坐标. (2)点为直线上方抛物线上一点,连接,当时,求点的坐标. (3)将抛物线(为常数)沿射线平移个单位长度,平移后的抛物线与原抛物线相交于点,点为抛物线的顶点,点为轴上一点,在平面直角坐标系中是否存在点,使得以点为顶点且为对角线的四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由. 8.如图,已知抛物线的顶点为D点,且与x轴交于B,A两点(B在A的左侧),与y轴交于点C.点E为抛物线对称轴上的一个动点: (1)当点E在x轴上方且时,求的值; (2)若点P在抛物线上,是否存在以点B,E,C,P为顶点的四边形是平行四边形?请求出点P的坐标; (3)若抛物线对称轴上有点E,使得取得最小值,连接AE并延长交第二象限抛物线为点M,从请直接写出的长度. 9.已知在直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)与轴交于点,点在该抛物线上,点,点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图(1),点在直线上方的抛物线上,求面积的最大值; (3)如图(2),在轴的正半轴上有一动点,当的外接圆与过抛物线顶点的直线相切时,求点的坐标; (4)如图(3),在直线上有一点,坐标平面内有一点,若四边形是正方形,请直接写出点的坐标. 10.如图,直线与x,y轴分别交于点A,B,过A,B两点的抛物线与x轴交于另一点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点M是直线上一动点,过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D,若以M,D,O,B为顶点的四边形为平行四边形,求点M的坐标. 11.如图,已知直线分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段上一动点,过点P作轴于点C,交抛物线于点D. (1)若抛物线的解析式为,设其顶点为M,其对称轴交于点N. ①求点M和点N的坐标; ②在抛物线的对称轴上找一点Q,使的值最大,请直接写出点Q的坐标; ③是否存在点P,使四边形为菱形?并说明理由; (2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由. 12.如图,在平面