2024届高三数学 二轮专题复习 数列通项公式 题型全归纳 （归纳本专题共16种数列通项公式题型 近五年高考真题 100题模拟训练题）(原卷+解析版）

2024届高三数学二轮专题复习 数列通项公式题型全归纳 归纳本专题共16种数列通项公式题型 近五年高考真题 100题模拟训练题 1、 知识回顾 二、考点分析 三、本专题常用解题技巧 四、本章常用解法总结 五、本章考点分析 六、高考真题回顾（2019-2023年） 七、本章知识模拟训练（100题） 1、 知识回顾 一、数列的通项公式 如果数列的第项和项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式. 二、数列的通项的常见求法：通项五法 1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明. 2、公式法：若在已知数列中存在：的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项. 3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项. 4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项. 通关一、等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示，即 要点诠释： （1） 由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为，因此不可能是， （2）“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个. （3）隐含条件，任一项且 （4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，不为的常数，数列是公比为的等比数列. （5）证明一个数列为等比数列，其依据是利用这种形式来判定就便于操作了。 通关二、等比中项 如果三个数成等比数列，那么称数为的等比中项，其中。 要点诠释： （1）只有当与与同号即时，才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项，当与异号或有一个为零，即时，与与没有等比中项。 （2）任意两个实数，与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项是等比中项不唯一 （3）当时，成等比数列推不出成等比数列 通关三、等比数列的通项公式 首项为公比为的等比数列的通项公式为： 推导过程： （1）归纳法 根据等比数列的定义：，可得，所以 当时，上式也成立，所以归纳得出： （2） 累乘法 根据等比数列的定义可得：,把以上个等式的左边与右边分别相乘（累乘），并化简得，即，又也符合上式，所以 迭代法 ，所以 要点诠释： （1）通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列得首项和公比确定，改等比数列就唯一确定了. （2）通项公式中共涉及四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量. 通关四、等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则. （1）当时，，等比数列是非零常数列，它的图像是在直线上均匀排列的一群孤立的点. （2）当且时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图像是分布在曲线，且上的一些孤立的点. 2、 考点分析 （1） 判断或写出数列中的项 【例题1】（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（    ） A．-23 B．-31 C．-33 D．-43 【例题2】（2024上·吉林长春·高二长春市第六中学校考期末）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 （2） 累加法求数列通项 【例题3】（2024·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（    ） A．241 B．231 C．213 D．192 （3） 累乘法求数列通项 【例题4】（2023·高二单元测试）已知数列，，…，…是首项为1，公比为2的等比数列，则（    ） A． B． C． D． （4） 利用an与sn关系求通项或项 【例题5】（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）数列的前项和， 求数列的通项公式： （5） 构造法求数列通项 【例题6】（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． （6） 观察法求数列通项 【例题7】（2024上·安徽·高二安徽省利辛县第一中学校联考期末）已知数列的前5项依次为1，，，，，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． （7） 定义法求数列通项 【例题8】（2023下·湖北襄阳·高二校联考阶段练习）若数列对