1.2.2空间中的平面与空间向量课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1．2.2　空间中的平面与空间向量 [课标解读]　1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与平面、平面与平面垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.4.体会向量方法在研究几何问题中的作用． 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 新知初探·自主学习 教材要点 知识点一　平面的法向量及其应用 1．平面的法向量：如果向量n的基线与平面α________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． 2．平面的向量表示式：设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，用·n＝0表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为一个平面的向量表示式． 3．两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔_______；α⊥β ⇔__________⇔____________． 垂直 n1∥n2 n1⊥n2 n1·n2＝0 状元随笔　平面的法向量有何作用？是否唯一？ [提示]　平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共线的． 知识点二　三垂线定理及其逆定理 1．射影：①已知平面α和一点A，过点A作α的________l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的________，简称射影． ②图形F上________在平面α内的________所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影． 2．三垂线定理：如果在平面内的________与平面的一条斜线在这个平面内的____________，则它也和这条斜线垂直． 3．三垂线定理的逆定理：如果平面内的________和这个平面的________________，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 垂线 正射影 所有的点 射影 一条直线 射影垂直 一条直线 一条斜线垂直 基础自测 1．直线l的方向向量s＝(－1，1，1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．± 答案：D 解析：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±. 2．设平面α的法向量的坐标为(1，2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 答案：C 解析：因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4. 3．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为(　　) A．(1，－1，1) B．(2，－1，1) C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1) 答案：C 解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则有∴ 令z＝1，得x＝－2，y＝1， ∴n＝(－2，1，1)． 4．设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 解析：∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5. 课堂探究·素养提升 题型1　求平面的法向量 例1 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 　 解析：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E(0，)，B(1，0，0)，C(1，，0)，于是＝(0，)，＝(1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 则即 所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)． 状元随笔　平面的法向量有何特点？ [提示]　设向量是平面α的一个法向量．则： (1)是一个非零向量． (2)向量与平面α垂直． (3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量平行，方向相同或相反． (4)给定空间中任意一点A和非零向量，可确定唯一一个过点A且垂直于向量的平面． 方法归纳 利用待定系数法求法向量的解题步骤 跟踪训练1　在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量n. 解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)． 设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)． ∵＝＝(－1，0，1)，又∵n为平面ACD1的一个法向量， ∴ ∴ 化简，得 令x＝1，得y＝z＝1. ∴