2024年中考数学专项提升练习：二次函数中的特殊三角形

2024年中考数学专项提升练习：二次函数中的特殊三角形 1．如图，抛物线与轴交于点，（在的右侧），与轴交于点．    (1)分别写，的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请求出点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．    (1)抛物线过定点，直接写出定点的坐标（_______，_______）； (2)如图1，当时，把过点的直线向下平移个单位后，交抛物线于，（点在对称轴的右边），交抛物线对称轴于，交轴于，若，求的值； (3)如图2，抛物线与轴交于点，过作轴与抛物线交于点，在直线上是否存在唯一一点，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)若点C是抛物线对称轴与x轴交点，P是y轴上一点，点Q是该抛物线上一点，当是等腰直角三角形且时，求点Q的坐标． 4．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为． (1)求直线的表达式及抛物线的表达式． (2)求点C的坐标． (3)点在直线上，点在抛物线上．若，直接写出m的取值范围． (4)若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标． (5)在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与轴交于点，连接，． (1)求点，，，的坐标； (2)点为抛物线对称轴上的动点，且与相似，请直接写出符合条件的点的坐标； (3)点为抛物线上的动点，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线经过原点O，与x轴交于点，直线交x轴于点B，交抛物线于点C（点C在第三象限）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，求的长； (3)若点P为线段上的一个动点，连接，以D为边向右作等边三角形．当点P从点A开始向右运动到点O时，线段扫过的面积为____________． 7．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围； (3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．如图1，直线l： y＝x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点．二次函数y = ax2 - 2ax - 2（a > 0）的图像经过点A，交y轴于点C． 　　 　　 　　 （1　）则点C　坐　标为 _________ ；抛物线对称轴是直线 _________ ；a的值是 _________ ； （2）已知点M是抛物线上的一个动点，经过点M作x轴的垂线MD，交直线l于点E，过点C作CD⊥MD，垂足为D，连接CM．设点M的横坐标为m． ①当点M位于第一象限的抛物线上，且△CDM是等腰直角三角形时，CM交直线于点F．设点F至直线DM的距离d1，到y轴的距离为d2，求的值． ②如图2，将△CDM绕点C逆时针旋转得到△C，且旋转角∠MC = ∠OAB，当点M的对应点落在y轴上时，请直接写出点M的横坐标m的值． 9．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得的面积最大？若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？求出符合条件的t的值． 10．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴正半轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，点P在线段上，轴交直线于G，延长到点E，使，以为斜边在右侧作等腰直角．当点F正好落在抛物线上时，求P点的坐标； (3)直线与抛物线交于点M，N，是否存在实数m的值，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是