1.2集合间的基本关系-2025年高考数学一轮复习频考重点强化提升（知识点+典型例题+针对练习+高考真题）

1.2集合间的基本关系 ( 知识 归纳 ) 子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集） (2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA 2.已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集 ( 考点讲解 ) 考点1：判断集合子集（真子集）的个数 例1：已知集合，则的非空子集的个数是 ． 【变式训练】设非空集合满足，，则这样的的个数为 ． 考点2：求集合的子集（真子集） 例2：集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】已知集合，则集合的一个非空子集为 . 考点3：判断两个集合的包含关系 例3．（多选）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】．（多选）关于下图说法正确的是（    ） A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素 B．集合A、B、U中有相同的元素 C．集合U中有元素不在集合B中 D．集合A、B、U中的元素相同 考点4：根据集合的包含关系求参数 例4：（多选）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 【变式训练】（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 考点5：判断两个集合是否相等 例5：（多选）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（多选）已知，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 考点6：判断两个集合相等求参数 例6：设集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 考点7：空集的概念以及运算 例7：下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】若关于x的方程的解集是空集，求k的值（    ） A． B． C． D． 考点8：空集的性质及应用 例8：以下四个写法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；②｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④；正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练】下列说法正确的是（    ） A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为 B．方程的解集为 C．集合与是相等的 D．若集合，集合，当时，或1 考点9：根据集合相等关系进行运算 例9：设集合，则等于________． 【变式训练】已知集合．若，则实数________． 考点11：集合间的基本关系新概念 例11．已知集合，定义，则集合的所有非空子集的个数为__________． 【变式训练】给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个． 考点12：集合间的基本关系综合 例12．已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【变式训练】已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? ( 巩固提升 ) 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D．以上都不正确 2．设为实数，，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则（    ） A．0 B．4 C．16 D．16或0 5．集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 6．对于非空数集，，其所有元素的算术平均数记为，即.若非空数集B满足下列两个条件：（1）；（2）.则称B为A的一个“保均值子集”.据此推理，集合的“保均值子集”有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 7．（多选）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知集合，则下列关系式表示正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列说法正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有16个子集 C．集合 D．集合 11．集合的子集个数为 ． 12．已知集合，若，则c的值为 . 13．已知集合，则