章节分层练 15 第三章 第七节 二次函数的综合应用-【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省中考数学精练本（五四制）

第七节　二次函数的综合应用 1．如图，若直线y＝x－与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A、点B，且抛物线的对称轴为直线x＝2. (1)求二次函数的表达式； (2)若P为直线AB下方抛物线上一点，过点P作直线AB的垂线，垂足为E，作PF∥y轴交直线AB于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标． 2．(2023·黑龙江龙东地区)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C. (1)求抛物线的表达式； (2)拋物线上是否存在一点 ，使得S△PBC＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．(2023·四川内江)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B(4，0)，C(－2，0)两点，与y轴交于点A(0，－2)． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PK＋PD的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．(2023·辽宁锦州)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A(－1，0)和B，交y轴于点C(0，3)，顶点为D. (1)求抛物线的表达式； (2)若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7，求点E的坐标； (3)在(2)的条件下，若F是对称轴上一点，H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：(1)当x＝0时，y＝－，∴A(0，－)， 当y＝0时，x＝5，∴B(5，0)． ∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴－＝2，∴b＝－4a. 将点A，B分别代入y＝ax2＋bx＋c中， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－. (2)∵PF∥y轴，PE⊥AB，∴∠PFE＝∠DAB，∠PEF＝∠AOB＝90°， ∴∠EPF＝∠OBA. ∵OB＝5，OA＝，∴tan∠OBA＝，∴PE＝2EF， ∴EF＝PF，PE＝PF，∴C△PEF＝(1＋)PF. 设P(t，t2－2t－)，则F(t，t－)， ∴PF＝t－－(t2－2t－)＝－t2＋t＝－(t－)2＋， ∴△PEF的周长＝(1＋)PF＝－×(1＋)(t－)2＋ ×(1＋)， ∴当t＝时，△PEF的周长有最大值＋， 此时P(，－)． 2．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点 A(－3，0)和点B(1，0)， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. (2)如图，连接AC，BC，设线段AB的中点为D，可知点D的坐标为(－1，0)，连接CD，过点D作与BC平行的直线l，假设与抛物线交于点P1, P2.(点P1在点P2的左边，P2在图中未能显示) 设直线BC的表达式为y＝kx＋b1(k≠0)． ∵直线BC经过点B(1，0)和点C(0，3)， ∴解得 ∴直线BC的表达式为y＝－3x＋3. 又∵P1P2∥BC，∴可设直线P1P2的表达式为y＝－3x＋b2. ∵直线P1P2经过点D(－1，0)，∴3＋b2＝0，解得b2＝－3， ∴直线P1P2的函数表达式为y＝－3x－3. 根据题意可知S△DBC＝S△ABC. 又∵P1P2∥BC， ∴直线P1P2上任意一点P′与点B，点C连线组成的△P′BC的面积都满足S△P′BC＝S△ABC， ∴直线P1P2与抛物线y＝－x2－2x＋3的交点P1，P2即为所求． 联立可得－3x－3＝－x2－2x＋3， 化简得x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2， ∴P1(－2，3)，P2(3，－12)． 3．解：(1)将点A(0，－2)，B(4，0)，C(－2，0)分别代入得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x－2. (2)∵A(0，－2)，B(4，0)， ∴直线AB的表达式为y＝x－2. 设P(m，m2－m－2)(0＜m＜4)， 则K(m2－m，m2－m－2)， ∴PK＋PD＝(m－m2＋m)＋(－m2＋m＋2)＝－m2＋m＋2＝－(m－)2＋. ∵－＜0，∴当m＝时，PK＋PD有最大值，最大值为， 此时P(，－)． (3)存在．如图，过点A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于点M2，过点B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2. ∵对称轴为直线x＝－＝1， ∴设M1(1，n)，则AM12＝n2＋4n＋5，BM12＝n2＋9. 由AB2＋BM12＝AM12，可得22＋42＋n2＋9＝n2＋4n＋5， ∴n＝6