2024年九年级数学中考复习 圆的切线证明 专题训练

2024年九年级数学中考复习 圆的切线证明 1．如图1，已知是⊙O的直径，，C为圆上任意一点，过点C作圆的切线，分别与过A，B两点的切线交于P，Q两点．    (1)求的值； (2)如图2，连接交于点M，证明直线． 2．如图，已知是的直径，，为圆上任意一点，过点作圆的切线，分别与过，两点的切线交于，两点．    (1)求的值； (2)如图，连接，交于点，证明直线．    3．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 4．如图，中，，是的中点，经过点作外接圆的切线交于点，过点作交的延长线于点，连接交于点，平分． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，请直接写出的值，不必说明理由． 5．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于，的一点，作，过点作于点，的延长线与的延长线相交于点． (1)求证：是半圆所在圆的切线； (2)若，，求． 6．如图，AB是的直径，AD，BD是弦，点P在BA的延长线上，且，延长PD交圆的切线BE于点E． (1)求证：PD是的切线； (2)若，，求EB的长． 7．如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆的切线； (2)已知，，求长度及阴影部分面积． 8．如图，在中，，平分，，平分交于点，． (1)求证：∽； (2)求证：是以为直径的圆的切线； (3)若，，求线段的长． 9．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于，的一点，作，过点作于点，的延长线与的延长线相交于点． (1)求证：是半圆所在圆的切线； (2)若，，求的半径． 10．如图，已知线段，点C为上一点，以点C为圆心，分别以，为半径在的上方作圆心角均为的扇形和扇形． (1)求证：； (2)已知，若是扇形所在圆的切线． ①求的长； ②判断和扇形所在圆的位置关系，并说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，OB与y轴相交于另一点G． (1)求证：BC是OF的切线； (2)若点A、D的坐标分别为A(0，－1)，D(2，0)，求的半径； (3)求证：AF=AD+CD． 12．如图，圆O是△ABP的外接圆，∠B＝∠APC； （1）求证：PC是圆的切线； （2）若AP＝6，∠B＝45°，求劣弧AP的长． 13．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，、是的两条半径，，C是半径上一动点，连接并延长交于D，过点D作圆的切线交的延长线于E，已知． （1）求证：； （2）若，求长； （3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积． 14．如图，点在长为6的线段上，以点为圆心，分别以、为半径在的上方作圆心角均为钝角且相等的扇形、扇形． （1）求证：； （2）已知，若是扇形所在圆的切线， ①求的长； ②求阴影部分的面积． [注：结果不求近似值] 15．如图，在的外接圆中，弦平分，，过点B作圆的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）已知，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)CP•CQ的值为1 【详解】（1）解：如图1，连接    ∵分别与⊙O相切于点A、B、C， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是⊙O的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）证明：如图2，延长交于点H，    ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．(1)1 【详解】（1）解∶如图，连接，，．    ∵，，是的切线， ∴，分别是，的平分线． ∵， ∴． ∴，即是直角三角形． ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 即． ∴． （2）证明：∵，，是的切线， ∴，，，， ∴， ∴． ∴． 又∵，， ∴．   又， ∴． ∴． ∴． 又， ∴． 3．(2) (3) 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即是的切线； （2）解：连接，设的半径为， ∵，， ∴， 在中，， 则， 解得， ， 即的半径为； （3）解：． 证明：作于，则， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4． (3)． 【详解】（1）证明：， BE是△ABE外接圆的直径， 又DE是△ABE外接圆的切线， ， 又，平分， ． （2）证明：在和 中， (HL) DH为的中线 （3）解：= ， ， 又 ，是的中点 ． 5．(2)1 【详解】（