2024年九年级数学中考复习 二次函数与特殊三角形问题 专题训练

2024年九年级数学中考复习 二次函数与特殊三角形问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点是边上的一个动点．将线段绕点顺时针旋转的度数到，点的对应点是点．二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的表达式； (2)当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求的长； (3)如图2，过点作轴的平行线交位于第一象限的抛物线于点，连接，，若为直角三角形，求此时点的坐标． 2．已知，如图点C在y轴正半轴上，，将线段绕点O顺时针旋转到OB的位置，点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧； (1)求经过A、B、C的抛物线的解析式； (2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)写出点、、的坐标； (2)过动点作平行于轴的直线，直线与二次函数的图象相交于点，． ①若，以为直径作，当与轴相切时，求的值； ②直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 5．直线与抛物线相交于点和点，点P是线段上异于A、B的动点．过点P作轴交抛物线于点C．    (1)求此抛物线的顶点坐标． (2)求以A为直角顶点时点P的坐标． (3)是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 6．已知抛物线：和：， (1)如何将抛物线平移得到抛物线？ (2)如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A．直线经过点A，交抛物线于另一点B．请你在线段上取点P，过点P作直线轴交抛物线于点Q，连接． ①若，求点P的横坐标； ②若，求点P的横坐标． (3)如图2，的顶点M，N在抛物线上，点M在点N右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、与y轴不平行．若的面积为2，设M，N两点的横坐标分别为m，n．求m与n的数量关系． 7．如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标． 8．如图，拋物线交轴于点和点，交轴于点 (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形，如果有，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)如图①，若抛物线的对称轴为直线，． ①点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； ②由①得抛物线的函数表达式为______； (2)将（1）中的抛物线向右平移若干个单位长度，再向下平移若干个单位长度，使平移后的抛物线经过点O，且与轴正半轴交于点，记平移后的抛物线的顶点为，若是直角三角形，则点的坐标为______． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是该图象的顶点． (1)求二次函数的表达式； (2)点P为线段上一个动点，过点P作轴于点D，且． ①当的面积等于面积时，求m的值； ②当为直角三角形时，点P的坐标为______． 12．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B、C，点C坐标为．连接、． (1)请直接写出二次函数的表达式； (2)若点N在线段上运动（不与点B、C重合），连接． ①当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出此时点N的坐标； ②过点N作，交于点M，求面积的取值范围． 13．如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点． (1)求出的值及二次函数的表达式；