专题04 锐角的三角比与解直角三角形 -备战2024年中考数学考试易错题（上海专用）

专题04 锐角的三角比与解直角三角形 易错点一：涉及锐角三角函数的概念时,是否明确“对边”“邻 边”“斜边”都是在“直角三角形”中. 掌握锐角三角函数的概念,会熟练运用特殊角的三角函数值. 1．（2022•宝山区模拟）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，那么的值是 　　． 【分析】过点作于，作的垂直平分线交于点、交于，根据余弦的定义求出，根据勾股定理求出，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：过点作于，作的垂直平分线交于点、交于， 在中，，， 则， 解得：， 由勾股定理得：， 在中，， 则， ， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 故答案为：7． 【点评】本题考查的是解直角三角形、平行线分线段成比例定理，根据余弦的定义求出是解题的关键． 2．（2021•浦东新区校级自主招生）如图，小正方形面积为20，大正方形面积为100，求． 【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为10，小正方形的边长为，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解． 【解答】解：小正方形面积为20，大正方形面积为100， 小正方形的边长是，大正方形的边长是10， 即，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，利用三角函数的定义表示直角三角形的边解题的关键． 3．（2020•上海）如图，在中，，，，点在边上，，连接．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为　　． 【分析】如图，过点作于．首先证明是等边三角形，解直角三角形求出即可． 【解答】解：如图，过点作于． ，， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 到直线的距离为， 故答案为． 【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 易错点二：实际问题中对坡角、俯角、仰角与方位角等找不准无 法准确理解题意易出错. 解决实际问题时,常因对名词术语如俯角、仰角、方位角、坡角等概念了解不清导致错误. 1．（2023•静安区校级一模）有一把长为6米的梯子，将它的上端靠着墙面，下端放在地面上，梯子与地面所成的角记为，地面与墙面互相垂直（如图1所示）．一般满足时，人才能安全地使用这架梯子． （1）当梯子底端距离墙面2.5米时，求的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？ （2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端沿着墙面下滑1.5米到墙面上的点处停止，梯子底端也随之向后平移到地面上的点处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由． 【分析】（1）由的余弦求出的度数，即可解决问题； （2）由的正弦求出，即可解决问题． 【解答】解：（1）， ， ， 此时人能安全地使用这架梯子； （2）此时人不能安全使用这架梯子，理由如下： 梯子顶端离开地面最高时，， ， （米， 梯子顶端沿着墙面下滑1.5米到墙面上的点， （米， ， ， ， 此时人不能安全使用这架梯子． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是由锐角的三角函数定义求出梯子与地面的夹角． 2．（2022•宝山区模拟）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示． 设备名称 红外线体温检测仪 测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面； ②竖直墙面； ③设备安装位置； ④的长是设备安装高度； ⑤的长是测温区域的宽度． 技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角． 探测最小角： 探测最大角： （1）如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到 （2）如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到 （参考数据：，，，，， 【分析】（1）根据正切的定义求出； （2）设的长为，根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）在中，，， 则， 答：线段的长度约为； （2）设的长为， 在中，， 则， 在中，， 则， 由题意得：， 解得：， 答：该设备的安装高度约为． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2022•松江区校级模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）为了消除安全隐患