中考总复习 静态几何问题 讲义2023—2024学年人教版九年级数学下册

静态几何问题（新考向·综合与实践） 例1、【问题背景】 在▱ABCD中，∠ADB=90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG 【特例感知】 (1)如图1，当k=1时，试探究线段AG与线段DF之间的数量关系； 【类比迁移】 (2)如图 2，当时，写出线段AD，ED，DF之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (3)在(2)的条件下，当G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值. {例题思路}此题主要运用“一边一角构全等”构造辅助线. {例题讲解}(1)当k=1时，AD=BD，DG=EF.由一边(DG=EF)一角(∠ADG=∠FED)，以△EDF为目标三角形，在DG附近构造与△EDF全等的三角形，故在AD上截取DH=ED，连接HG(如图1)，可证明△DHG≌△EDF(SAS)，推出∠DHG=∠EDF=135°，HG=DF，得到AG=HG=DF； (2)当时，由可得∠CDB=∠DBA=60°，∠A=30°.类比(1)需使在DG附近构造的三角形中，∠EDF的对应角的邻补角为60°，结合∠A=30°，故过点G作GM⊥AB交AD于点M(如图 2)，可证明△DMG∽△EDF，推出得到 由此得到 AM=2MG=进而推出 (3)由(2)，得，推出BD=2DF+ED.设ED=x.由G是AB的中点，得到∠ADG=∠A=30°，推出ED=DF=x，进而得到BD=3x.要求tan∠EBF的值，需将∠EBF 放入直角三角形中，又∠BDC=60°，为特殊角，故过点E作 EN⊥BD于点N(如图 3)，根据直角三角形中 30°角的性质及勾股定理求出即可得到再根据三角函数的定义即可得到答案. 练习题 1、问题观察： 数学课上，老师带同学们仔细观察人教版八年级上册教材上的两道习题： ①62页练习1:如图1，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系? AB+BD与DE有什么关系? ②77页练习3:如图2，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. 提出猜想： 通过观察发现，①中的∠B=2∠E，②中的∠B=2∠C.于是猜想:在△ABC 中，若∠B=2∠C 则△ABC 可被过点A 的直线分成两个等腰三角形. 探索验证： (1)①小明准备在如图3所示的△ABC 中验证猜想，其中∠B=2∠C=80°，他能作出过点 A」把△ABC 分成两个等腰三角形的直线l吗? 若能，请作出直线 l； ②小亮准备在如图4所示的△ABC 中验证猜想，其中∠B=2∠C=100°，他能作出过点 A .把△ABC 分成两个等腰三角形的直线l吗? 若能，请作出直线 l. 得出结论： (2)在△ABC 中，当∠B=2∠C，且∠C 时可被过点A 的直线分成两个等腰三角形；深入探究： (3)直接写出△ABC 还在什么条件下可被分成两个等腰三角形? 并画图证明； 结论运用： (4)当△ABC为等腰三角形且可以被分成两个等腰三角形时，直接写出其顶角的度数. 2、综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，在中，点D在AB上，求证： 独立思考： (1)请解答王老师提出的问题； 实践探究： (2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答. “如图2，延长CA 至点E，使BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF，BC 上在图中找出与BH相等的线段，并证明；” 问题解决： (3)数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求.该小组提出下面的问题，请你解答. “如图 3，在(2)的条件下，若求 BH 的长.” 3、【问题初探】 数学活动课上，老师给出如下问题：如图 1，四边形ABCD是正方形，G 是边BC上任意一点，于点E，且交AG于点 F.求AF，BF，EF之间的数量关系. 小星发现直线AG上有三个直角(∠BAD，∠AED，∠BFA)，可推出一组等角，再利用三角形全等转换边的位置，使AF，BF，EF在同一条直线上，继而可得它们之间的数量关系. (1)请你根据小星的解题思路，写出求解过程； 【类比分析】 (2)老师将图 1进行了变换并提出问题：如图 2，在等腰中，点D在边BC上，且连接AD，过点B作于点F，BF的延长线交AC于点E，求AE与CE之间的数量关系； 【学以致用】 (3)如图 3，在(2)的条件下，G是BC的中点，连接 FC，FG，求FC与FG之间的关系. 4、【模型建立】 在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图 1，△ABC是等腰三角形，AB=AC，过点B作BD⊥AC 于点D.若BC=2，AD=3，求CD 的长. 同学们经过思考后，交流了自