2024年 九年级数学中考复习 圆与三角形综合压轴解答题 专题提升训练

2024年春九年级数学中考复习《圆与三角形综合压轴解答题》专题提升训练（附答案） 1．如图，是圆O的直径，点在圆O上，且平分．过点D作的垂线，与的延长线相交于E，与的延长线相交于点F． (1)求证：与圆O相切； (2)若，，求圆O的半径． 2．如图，为的直径，为弦，于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 3．如图，为的直径，切于点E，于点D，交于点C，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 4．如图，内接于⊙O，且为的直径，，与交于点E，与过点C的的切线交于点D，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长； (3)当点F为的中点时，直接写出的值． 5．如图，为的直径，点都在上，且平分，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由． (2)若，求的半径； (3)于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 6．如图，在中，的平分线交于点E，在边上取一点O，以为半径作，恰好经过点E且分别与边交于点D，F，连接．    (1)求证：是的切线； (2)过点E作，垂足为H，求证：； (3)若，求的长． 7．已知，是圆O直径，C、D为上的点，且，连接． (1)如图1，求证：（用两种方法证明）； (2)如图2，若连接，使，与的延长线交于点F， ①判断直线和圆O的位置关系，并给出证明； ②当时，求圆O的半径． 8．如图，在中，，以为直径的交边于点，交边于点过点作的切线，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． (3)若，，求的半径． 9．如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接． (1)求证：点B在上． (2)当点D移动到使时，求的值． (3)当点D到移动到使时，求证：． 10．如图，内接于⊙，过点作于点，延长交⊙于点，连接、，与交于点， (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②若⊙的半径为，求的长． (3)设，，求关于的函数表达式． 11．已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下， ，的面积等于30，求半径的长． 12． 如图1为圆内接三角形，于、交⊙于点，于、交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，作于，求证：； (3)在（2）的条件下，连接、，若，，，求长． 13．如图，在中，是直径上的动点，过点作弦（点在点的左边），过点作弦，垂足为点，连接，已知． (1)求证：． (2)当点在半径上时，且，求的值． (3)连接，若． ①求的长． ②如图，延长至点，使得，连接，求的面积． 14．如图，是圆O的直径，O为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点E．    (1)判断直线是否为的切线，并说明理由； (2)如果，，求的长． (3)在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形为菱形． 15．综合探究 （一）新知学习： 人教版数学九年级上教材第119页《探究四点共圆的条件》发现，圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边新内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）． （二）问题解决： 已知的半径为2，是的直径，P是上任意一点，过点P分别作的垂线，垂足分别为N，M． (1)若直径（如图1），在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，的长是否为定值，若是，请并求出其定值；若不是，请说明理由． (2)若直径与相交成角，当点P（不与B、C重合）从B点运动到C的过程中（如图2），证明的长为定值． (3)试问当直径与相交成多少度角时，的长取最大值，并写出其最大值． 16．已知为的直径，点、为上的两个点，交于点，点在上，交于点，且． (1)如图1．求证：； (2)如图2．若平分．求证：； (3)如图3．在（2）的条件下，连接，若． ①求证：； ②若，求的长． 17．已知内接于，，连接． (1)如图1，求证： (2)如图2，当时，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，过作交于点，交于点，连接、，若，，求的面积． 18．如图，已知，为的两条直径，连接，，于点，点是半径的中点，连接． (1)设的半径为1，若，求线段的长． (2)连接，，设与交于点， ①求证：． ②若，求的度数． 19．（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， 是的中点， ∴， ∴①， 又∵②， ， ， 又， ， ，即， 根据证明过程，