2024届新高考新题型压轴题专练数学试题

版权所有 侵权必究 2024新高考新题型压轴题专练 ——以九省联考为风向标 1.（原创）（本题满分17分） 不定积分（Indefinite integral）作为微积分学的基础，在函数运用方面存在重大作用与意义.现定义某一函数,称其为原函数，其导函数为,则有,称全体原函数为的不定积分.其中“∫”为积分符号，为积分函数，为被积表达式，为积分常量.易得，求不定积分的过程实质上是求导的逆运算的过程. （1）求:, ； （2）现存在一函数,已知,全体原函数是的不定积分： ①求的表达式； ②存在时，证明不等式，在上恒成立. 2.（原创）（本题满分17分） 离散型随机变量是指随机变量的取值是有限个或可列个的随机变量。中学阶段学习的二项分布、超几何分布均属于离散型随机变量分布。现引入新的随机变量，若的概率分布列满足：，，则称服从以为参数的泊松分布，记为. （1）设存在随机变量，若,试写出当时的分布列； （2）2024年2月，湖南省湘西州遭遇严重暴风雪天气，人民群众出行受阻，交通瘫痪.某网约车平台为计算本次暴风雪时呼叫并等待网约车的顾客人数，以便更好规划平台派车.现通过数据收集已知，在暴风雪天气期间，在某大型购物中心处使用该平台呼叫等候网约车的人数服从参数为4的泊松分布.（参考数据：） ①求同一时间内，在该大型购物中心处至少存在两人利用网约车平台呼叫等候网约车的概率； ②已知在该时间段内，至少有两人在该大型购物中心呼叫等候网约车，求此时恰好仅有两人的概率.（均保留两位小数） 3.（原创）（本题满分17分） 对于给定的正整数,记集合,其中元素称为一个维向量，特别的,称为零向量. 设,新定义加法和数乘：.称为维线性空间. （1）通常，称一个线性空间中允许重复出现的子集是该线性空间的一个向量组，反之亦然.设为线性空间中的一个向量组，若存在数域中的s个数，使得：，则称可经线性表示.现存在.试将表示成的线性表示. （2）现存在一组向量组，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.试判断下列向量线性无关还是线性相关. ① ②, 4.（2024浙江镇海中学高三期末改编）（本题满分17分） 直线存在斜率，以表示直线的倾斜程度，曲线也同样需要一个标准去判定曲线的弯曲程度，例如在火车转弯时轨道的弯曲程度应确保行车的安全，钢梁在荷载作用下产生弯曲变形，必须有一定限制，才会使构件不至于断裂。设曲线具有连续转动的切线，在上选定一点作为基点.设上点对应的弧长为,点处切线的倾斜角为，上另一点对应的弧长,切线的倾斜角为，弧段的长度为,从到，切线转过的角度为，则称为的平均曲率.可通过逼近法，定义（极限存在时）为曲线在处的曲率.（和分别为函数在处的一阶导数、二阶导数） （1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； （2）求椭圆在点（,）处的曲率； （3）新定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点，且处的“柯西曲率”相同，求的取值范围. 5.（2024九省联考名师教研团队原创变式）（本题满分17分） 拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的预言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑. 已知平面，定义对, ，其度量（距离） 并称（）为一度量平面. 设，，称平面区域 为以为心，为半径的球形邻域. （1）试用集合语言描述两个球形邻域的交集； （2）证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$