专题4-2 向量四心及补充定理综合归类（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题4.2向量四心及补充定理综合归类 目录 题型01 “奔驰定理” 1 题型02 极化恒等式 3 题型03极化恒等式求最值范围 4 .题型04等和线题型：基础 6 题型05等和线题型：型 6 题型06 等和线题型：型 7 题型07 等和线题型：分数型 8 题型08 等和线题型：与数列 9 题型09奔驰定理与重心型轨迹 10 题型10 三角形四心向量：内心 11 题型11 三角形四心向量：外心 12 题型12 三角形四心向量：重心 12 题型13三角形四心向量：垂心 13 题型14向量点域综合 14 高考练场 16 题型01 “奔驰定理” 【解题攻略】 奔驰定理： 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 【典例1-1】（2022春·全国·高三模拟）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ） A． B． C． D． 四川省三台中学2021-2022学年高三4月质量检测数学试题 【变式1-1】如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知是等边三角形，且,那么四边形ABCD的面积为( ) A． B． C． D． 【变式1-3】是所在平面上的一点,满足,若,则的面积为（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 题型02 极化恒等式 【解题攻略】 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2] 【典例1-1】（2023·江苏·高三专题练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 2. 【典例1-2】如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________． 【变式1-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在中，，，点是线段上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 题型03极化恒等式求最值范围 【解题攻略】 极化恒等式的模型： 平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． （1）推导过程：由. 三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． 记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 1. 【典例1-1】如图,在平面四边形中,,则的最大值为____ 【典例1-2】已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为_________． 【变式1-1】在锐角中，已知，则的取值范围是____________． 【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为______． 【变式1-3】半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． .题型04等和线题型：基础 【解题攻略】 等和线基础：系数为1型 形如，求值或者范围，其中可以理解对应系