精品解析：广东省广州市仲元中学2024届高三第一次调研数学试卷

广州市仲元中学2024届高三第一次调研 数学科目 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知在中，点在边上，且，则（ ） A B. C. D. 3. 已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C D. 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 7. 已知A，B，C，D是体积为球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是或 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，于，直线与交于，两点，若，则（ ） A. B. C. D. 12. 是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为______． 14. 某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为____________． 15. 在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为_______． 16. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设为数列的前项和，已知，. （1）数列是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由； （2）设，数列的前项和为，证明：. 18. 在内，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若的面积为，，求的周长． 19. 在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面. （1）求证：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 20. 随着芯片技术不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，已知第1关的难度为“容易”． （1）求第3关的难度为“困难”的概率； （2）用表示第关的难度为“困难”的概率，求． 21. 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程； （2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围． 22. 已知函数， （1）若，讨论在的单调性； （2）若，函数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州市仲元中学2024届高三第一次调研 数学科目 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解两个集合，再根据补集和并集的定义，即可求解. 【详解】，得，所以， 函数中，，即，所以， ，所以. 故选：B 2. 已知在中，点在边上，且，则（ ）