2024年九年级数学中考复习 圆与三角形综合压轴综合题 专题训练

2024年九年级数学中考复习 圆与三角形综合压轴综合题 1．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”． (1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为______． (2)如图②，中，点在边上，，为的中点，且． ①求证：的外接圆是的边上的伴随圆； ②的值为______ 2．定义：如果一个圆满足：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点），那么这个圆称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”． (1)如图①，在中，，则边上经过点B的伴随圆的半径为 ； (2)如图②，在中，，直接写出它的所有伴随圆的半径 ； (3)如图③，在中，点E在边上，，D为的中点，且． ①求证：的外接圆是的边上的伴随圆； ②求的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，点C在x轴上，且． (1)求C点坐标、的度数； (2)在线段上是否存在点M，使得以线段为直径的圆与边交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，三角形中，为中点，，，以为直径作圆，恰好与相切于点．求：    (1)圆的半径； (2)连接，交于，求的长度； 5．只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．    (1)如图①， 在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段 ． (2)在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） (3)如图②，在中，，以为一边向三角形外作菱形，D为菱形的中心，连接，当平分时，，．求的长． 6．如图1，在中，，为斜边上一点，以为圆心、为半径的圆恰好与相切于点，与的另一个交点为，连接．    (1)请找出图中与相似的三角形，并说明理由； (2)若，试求图中阴影部分的面积； (3)小明在解题过程中思考这样一个问题：图1中的的圆心究竟是怎么确定的呢？请你在图2中利用直尺和圆规找到正确圆心（不写作法，保留作图痕迹）． 7．如图1，三角形内接于圆O，点D在圆O上，连接和，交于点E，    (1)求证：是直径； (2)如图2，点F在线段上，， ①求证：； ②若，用含k的表达式表示． 8．如图，在半径为的圆中，、都是圆的半径，且，点是劣弧 上的一个动点点不与点、重合，延长交射线于点． (1)当点为线段中点时，求的大小； (2)如果设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当时，点在线段上，且，点是射线上一点，射线与射线交于点，如果以点、、为顶点的三角形与相似，求的值． 9．婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． (1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是______．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形． (2)如图1，四边形ABCD为的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知．求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”． (3)如图2，在中，，以AB为弦的交AC于点D，交BC于点E，连接DE，AE，BD，，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长． 10．婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． (1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是 　 　（填序号）； ①矩形；②菱形；③正方形 (2)如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求证：四边形ABCD为“婆氏四边形”； (3)在（2）的条件下，BD＝4，且ABDC． ①当DC＝2时，求AC的长度； ②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值． 11．如图，点O为线段AB的中点，点C为线段OA上一点（不与O，A重合），以点O为圆心，OC为半径作圆O交线段OB于点D、∠EAB＝∠FBA＝60°，AE＝BF＝2，AB＝10，连接EC，FD． (1)求证：EC＝DF； (2)当EC与圆O相切时，求OC的长度； (3)直接写出△AEC的外心在该三角形内部时，∠E的取值范围． 12．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β，满足α+2β＝90°，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A