北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题

2024北京人大附中高二（上）期末 数学 2024年1月17日 说明：I卷满分100分、II卷满分50分、全卷满分150分，考试时间120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 椭圆：的焦点坐标为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 直线倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 已知点P与共线，则点P的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 5. 已知P为椭圆上的动点．，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 9. 设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（ ） A B. C. D. 10. 如图，已知菱形的边长为2，且分别为棱中点．将和分别沿折叠，若满足平面，则线段的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 双曲线的渐近线方程为_________． 12. 如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）． 13. 经过点且与直线垂直的直线方程为_______________． 14. 作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为，两个底面内棱长分别为和，则估计该米斗的容积为__________． 15. 已知四边形是椭圆的内接四边形，其对角线和交于原点，且斜率之积为．给出下列四个结论： ①四边形是平行四边形； ②存在四边形是菱形； ③存在四边形使得； ④存在四边形使得． 其中所有正确结论的序号为__________． 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知圆与y轴相切． （1）直接写出圆心C的坐标及r的值； （2）直线与圆C交于两点，求． 17. 已知直线经过抛物线的焦点，且与C的两个交点为P，Q． （1）求C的方程； （2）将向上平移5个单位得到与C交于两点M，N．若，求值． 18. 如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点M，N． （1）求证：; （2）记二面角的大小为，求的最大值． 19. 已知椭圆的两个顶点分别为，离心率为椭圆上的动点，直线分别交动直线于点C，D，过点C作的垂线交x轴于点H． （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 四、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 20. 已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（ ） A. B. C. D. 21. 当实数时，方程表示的曲线都是双曲线，当变化时，这些双曲线的焦距、离心率、渐近线中始终不变的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 22. 如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线为 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆方程为 D. 的面积为 23. 如图所示的圆锥中，高，底面的直径．M为母线PB的中点．若平面经过OM且垂直于轴截面PAB，根据圆锥曲线的定义，可以证明此时平面与圆锥侧面的交线为抛物线的一部分，则下面四个结论中错误的是（ ） A. M为抛物线的顶点 B. 直线OM为抛物线的对称轴 C. O是抛物线的焦点 D. 抛物线的焦点到准线的距离为 24. 如图，在棱长为2的正方体中，点M是的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A. 不存在点N满足 B. 满足的点N的轨迹长度是 C. 满足平面的点N的轨迹长度是 D. 满足的点M的轨迹长度是 五、填空题（本