2024年 九年级数学中考复习 二次函数与三角形综合压轴综合题 专题训练

2024年 九年级数学中考复习 二次函数与三角形综合压轴综合题 专题训练 1．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=xmm，EF=ymm． （1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 2．如图，在直角坐标系中有，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过A，B，C三点. （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标； （2）过定点Q的直线与二次函数图象相交于M，N两点. ①若，求k的值； ②证明：无论k为何值，恒为直角三角形. 3．如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点. （1）求二次函数的解析式及顶点的坐标； （2）过定点的直线与二次函数图象相交于M，两点. ①若，求的值； ②证明：无论为何值，恒为直角三角形； ③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式. 4．如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB＝5，AD＝4．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决． （1）如图2，将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时EF恰好经过点A，请证明：△ADE∽△FGE； （2）如图3，在（1）的条件下，小明先将△EFG的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式． （3）如图，在（1）的条件下，小明把该图形放在直角坐标系中，使B（G）为坐标原点BC为x轴，在x轴和y上分别找P，Q两点使△DPQ与△ABF相似，直接写出P点的坐标。 5．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”. （1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长； ②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ▲ ； （2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值； （3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值. 6．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称△ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF边半高三角形，CH是“EF边半高”． （1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若△ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝　 　cm； （2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为　 　． （3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y＝x2.上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”当点P介于抛物线上点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标． 7．综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系 （1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当时，　 　． ②S关于t的函数解析式为　 　． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． （3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ①　 　； ②当时，求正方形的面积　 　． 8．定义：在平面直角