微专题4-3 数列的求和的五种方法-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（上海专用）

微专题4-3 数列的求和的五种方法 方法一：等差等比公式法 方法二：裂项相消法 方法三：错位相减法 方法四：分组（并项）求和法 方法五： 倒序相加法 方法一：等差等比公式法 1．（2024·全国·高三专题练习）购房分期付款模型是这样的：设贷款元，年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始每次等额归还，第年后全部还清（也可以按月等额归还）．那么第年后剩余款额．由，解得．请你仔细阅读上述模型，再给出一个运用该模型的应用题． 2．（2024上·江苏·高三统考期末）设数列的前n项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求的前50项和. 3．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）设等比数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和． 4．（2024·全国·模拟预测）已知数列各项均不为0，，且（为非零常数）． (1)求证：为等差数列； (2)已知数列的前项和为． ①求证：； ②若数列的前10项和为550，求的值． 5．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③． (1)求的最小值； (2)设的前项和为，求． 6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，求的通项公式． 7．（2024上·山东潍坊·高三统考期末）某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口. (1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由. (2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差. 8．（2024·安徽淮北·统考一模）已知数列为递增的等比数列，，记、分别为数列、的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，. 9．（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 方法二：裂项相消法 1．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前1012项和． 2．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（2024·陕西宝鸡·统考一模）已知数列，若，且． (1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围． 4．（2024·福建厦门·统考一模）已知数列的前项和为，，当，且时，． (1)证明：为等比数列； (2)设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值． 5．（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 6．（2024·全国·高三专题练习）（1）求（）； （2）求（）（个数的平方和以及立方和公式可以通过裂项相消杀和推导）． 7．（2024上·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）设数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)已知数列，求数列的前项和． 8．（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）数列满足，，，设. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 9．（2024·四川绵阳·统考二模）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 10．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 11．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项积为． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 12．（2024·陕西宝鸡·统考一模）已知数列，若，且. (1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求证：. 方法三：错位相减法 一、解答题 1．（2024上·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期末）已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（2024·湖南邵阳·统考一模）设数列满足：.等比数列的首项，公比为2. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项