中考总复习 等腰三角形的对称性及双等腰三角形讲义 2023—2024学年人教版九年级数学下册

等腰三角形的对称性及双等腰三角形 类型 1 等腰三角形的对称性 使用条件：出现等腰三角形一腰上有三角形，将其沿着等腰三角形的对称轴翻折 经典模型图 常用结论 条件：如图，在△ABC 中，AB=AC，点D 在边 BC 上，连接AD 辅助线：在CB 上截取CE=BD，连接AE △ACE≌△AB. 条件：如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在边AC上，连接 BD 辅助线：在AB上截取BE=CD，连接CE；或在AB上截取 AE=AD，连接CE △BCE≌△CBl △ACE≌△AB. 条件：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边CA的延长线上，连接BD 辅助线：在BA的延长线上截取AE= AD，连接 CE；或在BA的延长线上截取BE=CD，连接CE △ACE≌△ABl △BCE≌△CBL 条件：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC的延长线上，连接BD 辅助线：在AB的延长线上截取AE=AD，连接CE；或在AB的延长线上截取BE=CD，连接CE △ACE≌△ABD △BCE≌△CBD 例1、如图，在中，点 D，E 均在边 AB 上，且垂足为G，DG 的延长线与BC 相交于点 F，在图中找出与线段CE 相等的线段，并证明. 例2、【提出问题】如图1，在△ABC 中，点D，F 均在边AB上，点E 在边 BC上，BD=BE，∠ADC=α，∠BEF=180°-2α，延长CA，EF 交于点G，GA=GF.求证：AD=EF. 【分析问题】等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形. ①小明的想法是：将 BE 放到△BEF 中，沿等腰△BDE 的对称轴进行翻折，即作∠BDH=∠BEF 交BC 于点 H(如图2). ②小白的想法是：将 BD 放到△BDC 中，沿等腰△BDE 的对称轴进行翻折，即作∠BEH：∠BDC交BD 的延长线于点H(如图3). 【解决问题】请你从上述两种方法中选择一种解决问题. 类型2 底边在同一条直线上的双等腰三角形 使用条件：两个等腰三角形的底边在同一条直线上 经典模型图 常用结论 条件：如图，AB=AC，点E在直线AC 上，点 D 在直线BC上，且满足EB=ED 辅助线：过点 E作EF ∥AB交直线BC于点F ∠ABE=∠CED △EBF≌△EDC ∠ABE=∠CED △EBF≌△EDC △GBD∽△ECB ∠ABE+∠CED=180° △EBF≌△EDC 例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D，E 分别在AB，AC 的延长线上，点 F 在 DE 上，AF 与BC 相交于点G，FA=FD，连接 BE，∠AFD=2∠ABE. (1)在图中找出与∠CAG 相等的角，并证明； (2)求证：FE=FG. 练习题 【问题提出】如图1，在△ABC 中，AB=AC，D是AC 的中点，延长 BC 至点E，使 DE=DB，延长 ED 交AB 于点F ，探究 的值. 【问题探究】(1)先将问题特殊化：如图2，在图1的条件下，当∠BAC=60°时，直接写出 的值； (2)再探究一般情形：如图1，(1)中的结论是否仍然成立? 并说明理由. 类型 3 公共腰的双等腰三角形 使用条件：两个等腰三角形有一条公共腰 经典模型图 常用结论 条件：如图，在△ABC 中，AB=AC，过点 B 作 BE⊥AC 于点E，延长 BE 至点 D 使 BD=AB，连接 AD 辅助线：延长AD，BC 交于点 F ∠ABD=2∠EAD ∠AFB=45° 例、如图，在等腰中，D是线段BC 上一动点(不与点B，C重合)，连接AD，延长 BC 至点E，使过点E作于点F，再延长E F交 AB于点M .求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$