精品解析：天津市北师大静海实验学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

北师大静海实验学校2023-2024学年高二第一学期12月阶段测试 数学 试题 一、单选题（共45分） 1. 已知空间向量，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 圆与圆的公共弦所在直线恒过点（ ） A. B. C. D. 4. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足，则第六层球的个数为（ ） A. 28 B. 21 C. 15 D. 10 5. 在等差数列中,,,则公差为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在等差数列中，若 ，则 的值等于（　 　） A. 8 B. 10 C. 13 D. 26 7. 若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线（，）的离心率为，O为坐标原点，右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，的周长为12，则双曲线的实轴长为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 2 9. 已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C D. 二、填空题 10. 在等差数列中，若，，则______． 11. 在长方体中，，，点E为AB的中点，则点B到平面的距离为________． 12. 若直线与圆相交所得的弦长为，则_____． 13. 在数列中，若，则________. 14. 若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则___． 15. 已知抛物线C：焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为________. 三、解答题 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面所成角为，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由. 17. 设数列等差数列，且，． （1）求数列的通项与前项和； （2）若从数列中，依次取出第2项，第4项，第6项，……，第项，组成一个新数列，试求出的通项公式. 18. 已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程． 19. 已知在非零数列中，，数列的前项和． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若数列满足，求数列的前项和． 20. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，当垂直于轴时，且的面积是. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆左顶点为，当不与轴重合时，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使，求证：三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大静海实验学校2023-2024学年高二第一学期12月阶段测试 数学 试题 一、单选题（共45分） 1. 已知空间向量，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】现根据空间向量数量积的坐标表示求出，进而根据模长公式求得，进而根据向量与向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 则有， 所以，又因为， 所以向量与的夹角为. 故选：C. 2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C 3. 圆与圆的公共弦所在直线恒过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个圆的方程求出公共弦的直线方程，然后利用直线方程求解定点即可. 【详解】圆与圆， 两圆的方程相减得：，即公共弦所在的直线方程. 且，即， 故直线恒过点. 故选：A 4. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数