2024届高考数学总复习导数专题分类强化训练专题1：切线问题

专题1:切线问题 1．若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知直线与曲线相切，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C．2 D． 4．若曲线y＝ax+2cosx上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（ ） A．[，] B．[﹣1，1] C．（﹣∞，1] D．[，1] 5．已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D．2 6．若存在实数，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最大值是（ ） A． B． C． D． 7．若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知是函数的切线，则的最小值为______． 10．存在使对任意的恒成立，则的最小值为________. 11．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____． 12．已知直线与函数的图像相切于点，与函数的图像相切于点，若，且，，则__________． 13．若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______. 14．已知实数 ，满足 ，那么的最小值为_________． 15．若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则=_________. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1:切线问题 1．若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1．A 【解析】设公切线与函数切于点，则切线方程为；设公切线与函数切于点，则切线方程为，所以有∵，∴． 又，令，∴． 设，则，∴在(0，2)上为减函数，则，∴，故选A． 2．已知直线与曲线相切，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．C 【解析】设切点，则由得， 又由，得，则， 有，令，则， 故当时；当时，故当时取得极大值也即最大值. 故选：C. 3．已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上任意一点，则的最小值是（ ） A． B． C．2 D． 3．D 【解析】（1）曲线：，求导得，易知在点处切线方程为. 下面证明恒成立： 构造函数，求导得，则时，，单调递减；时，，单调递增. 故函数，即恒成立，有为下凸曲线 （2）曲线：，求导得，当时，，且过点 故在点处的切线方程为. 下面证明在上恒成立： 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 则，即在上恒成立，有为上凸曲线 （3）由在处切线与在B处的切线，知：它们相互平行 又直线AB的斜率k = -1，即可知：直线AB与两条切线同时垂直 ∴综上，知：最小时，A即为P点，B即为Q点，故 ∴ 故选：D 4．若曲线y＝ax+2cosx上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（ ） A．[，] B．[﹣1，1] C．（﹣∞，1] D．[，1] 4．A 【解析】，要使曲线上存在两条切线相互垂直， 只需切线斜率最小时，其负倒数仍在导函数值域内取值，即，显然， 故只需， 因为最小值为，最大值为， 所以，即， 解得． 故选：A． 5．已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D．2 5．B 【解析】设，， 若，对任意和正数恒成立， 则，对任意和正数恒成立， 如图， 时，，对任意和正数不恒成立； 如图， 时， ，则， 设，解得，且， ∴当的切线斜率为1时，切点坐标为， 由直线的点斜式方程可得切线方程为， 即， 若，对任意和正数恒成立，则 ∴ ∴， 设， ， ∴，，， ∴， ∴ 故选：B. 6．若存在实数，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最大值是（ ） A． B． C． D． 6．C 【解析】存在实数，使不等式对一切正数都成立，要求的最大值，临界条件即为直线恰为函数的公切线. 设的切点为，. 设的切点为，, 所以. 由题得. 设， 所以， 所以函数在上单调递减，在单调递增. 又， 当时，， 所以方程另外一个零点一定大于. 所以方程小的零点为， 所以. 故选：C 7．若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．D 【解析】由，得，所以， 由，得. (1)当时，导函数单调递增，， 由题意得 故，解得； (2)当时，导函数单调递减，，同理可得，与矛盾，舍去； （3）当时，不符合题意. 综上所述：的取值范围为. 故选：. 8．若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围是（ ） A．