19 第三章 第十一节 二次函数中特殊四边形存在性问题 -【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省济南市中考数学精练本

第十一节　二次函数中特殊四边形存在性问题 1．(2023·济南商河二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA. (1)求抛物线的表达式； (2)直线y＝kx＋1(k＞0)与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标； (3)在(2)的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q，N，使得以P，D，Q，N四点为顶点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．(2023·辽宁锦州)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A(－1，0)和B，交y轴于点C(0，3)，顶点为D. (1)求抛物线的表达式； (2)若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7，求点E的坐标； (3)在(2)的条件下，若F是对称轴上一点，H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：(1)∵A(－2，0)，∴OA＝2. ∵OC＝2OA，∴OC＝4，∴C(0，4)． ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(4，0)，C(0，4)， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4. (2)如图1，过点P作PE∥y轴交直线BC于点E，连接CP. 设直线BC的表达式为y＝k′x＋d. ∵B(4，0)，C(0，4)， ∴解得 ∴直线BC的表达式为y＝－x＋4. 设P(t，－t2＋t＋4)， 则E(t，－t＋4)， ∴PE＝－t2＋t＋4－(－t＋4)＝－t2＋2t. ∵直线y＝kx＋1(k＞0)与y轴交于点D， ∴D(0，1)，∴CD＝4－1＝3. ∵PE∥y轴，即PE∥CD，∴△EMP∽△CMD， ∴＝＝＝－t2＋t. ∵m＝， ∴m＝－t2＋t＝－(t－2)2＋. ∵－＜0， ∴当t＝2时，m取得最大值，此时点P的坐标为(2，4)． (3)存在这样的点Q，N，使得以点P，D，Q，N四点为顶点组成的四边形是矩形． ①当DP是矩形的边时，有两种情形． 如图2，四边形DQNP是矩形时. 由(2)可知P(2，4)，代入y＝kx＋1中得k＝， ∴直线DP的表达式为y＝x＋1，可得F(－，0)． 易得△DOF∽△QOD， ∴＝， ∴OD2＝OF·OQ， ∴1＝OQ，∴OQ＝， ∴Q(，0)； 如图3，四边形PDNQ是矩形时． ∵直线PD的表达式为y＝x＋1，PQ⊥PD， 易得直线PQ的表达式为y＝－x＋， ∴Q(8，0)． ②当DP是对角线时，设Q(x，0)， 则QD2＝x2＋1，QP2＝(x－2)2＋42，PD2＝13. ∵点Q是直角顶点， ∴QD2＋QP2＝PD2， ∴x2＋1＋(x－2)2＋16＝13， 整理得x2－2x＋4＝0，方程无解，此种情形不存在． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为(，0)或(8，0)． 2．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)和点C(0，3)， ∴∴ ∴抛物线的表达式y＝－x2＋2x＋3. (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴对称轴为直线x＝1，B(3，0)，D(1，4)． 如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点E作EN⊥x轴于点N. 设E(x，－x2＋2x＋3)， ∴BN＝3－x，MN＝x－1， ∴S四边形ODEB＝S△ODM＋S梯形DMNE＋S△ENB＝×1×4＋(4－x2＋2x＋3)(x－1)＋(－x2＋2x＋3)(3－x)＝－x2＋4x＋3. ∵四边形ODEB的面积为7， ∴－x2＋4x＋3＝7， ∴x2－4x＋4＝0， ∴x1＝x2＝2， ∴E(2，3)． (3)存在，点G的坐标为(，)或(，)． 提示：如图，连接CG，DG. ∵四边形EFGH是菱形， 且∠EFG＝60°， ∴△EFG是等边三角形，易证△DCE是等边三角形， ∴△CEG≌△DEF(SAS)， ∴∠ECG＝∠EDF＝30°， ∴直线CG的表达式为y＝－x＋3. 联立 解得(舍去)或 ∴G(，)． 如图，连接CG，DG，CF. ∵四边形EFGH是菱形， 且∠EFG＝60°， ∴△EFG是等边三角形． 易证△DCE是等边三角形， ∴△DGE≌△CFE(SAS)， ∴DG＝CF， ∴CF＝FE，GE＝FE，∴DG＝GE， ∴△CDG≌△CEG(SSS)， ∴∠DCG＝∠ECG＝30°， ∴直线CG的表达式为y＝x＋3. 联立 解得(舍去)或 ∴G(，)． 综上所述，G(，)或(，)． 学科网（北京）股份有限公司 $$