17 第三章 第九节 二次函数的面积问题 -【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省济南市中考数学精练本

第九节　二次函数的面积问题 1．(2023·济南历下三模节选)如图1，抛物线C：y＝x2＋bx＋c过A(6，0)，B(0，－3)两点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′，抛物线C′交x轴的负半轴于点D，作直线BD. (1)求抛物线C的表达式和点D的坐标； (2)如图2，过点O作EE′∥BD，交抛物线C′于点E和F，交抛物线C于点E′和F′，求△EF′B的面积． 2．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点A的坐标为(－1，0)，与y轴交于点C(0，2)，直线CD：y＝－x＋2与 x轴交于点D.动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N. (1)求抛物线的表达式； (2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 3．(2023·湖南湘潭节选)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B(1，0)，C(0，3)． (1)求二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC＝S△ABC？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由； 参考答案 1．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(6，0)和B(0，－3)两点， ∴解得 ∴抛物线C的表达式为y＝x2－x－3. ∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′， ∴点A与点D关于原点对称， ∴点D的坐标是(－6，0)． (2)设直线BD的表达式为y＝kx＋n. 将B(0，－3)，D(－6，0)分别代入得 解得 ∴y＝－x－3. ∵EE′∥BD， ∴直线EE′的表达式为y＝－x. 联立 解得x1＝1＋， x2＝1－， ∴xE′＝1＋， xF′＝1－. ∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′， ∴xE＝－1－ ， ∴S△EF′B＝ S△EOB － S△F′OB＝OB·(xF′－xE) ＝×3×(1－＋1＋)＝3. 2．解：(1)∵抛物线过点A(－1，0)，C(0，2)， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2. (2)存在． 当y＝0，即－x＋2＝0时，解得x＝2，则D(2，0)． 设M(x，－x2＋x＋2)，则N(x，－x＋2)， ∴MN＝－x2＋x＋2－(－x＋2)＝－x2＋x， ∴S△CDM＝×2MN＝－x2＋x＝－(x－)2＋. ∵－＜0， ∴当x＝时，S△CDM有最大值，最大值为. 3．解：(1)将点B(1，0)，C(0，3)代入y＝x2＋bx＋c得 解得 ∴抛物线表达式为y＝x2－4x＋3. (2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，顶点坐标为(2，－1)． 当y＝0时，x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3， ∴A(3，0)，则OA＝3. ∵C(0，3)，则OC＝3， ∴△AOC是等腰直角三角形． ∵S△PAC＝S△ABC， ∴点P到AC的距离等于点B到AC的距离． ∵A(3，0)，C(0，3)，设直线AC的表达式为y＝kx＋3， ∴3k＋3＝0，解得k＝－1， ∴直线AC的表达式为y＝－x＋3. 如图，过点B作AC的平行线，交抛物线于点P. 设BP的表达式为y＝－x＋d. 将点B(1，0)代入得－1＋d＝0， 解得d＝1， ∴直线BP的表达式为y＝－x＋1. 联立解得(舍去)或 ∴P(2，－1)． ∵PA＝＝，PB＝＝， AB＝3－1＝2， ∴PA2＋PB2＝AB2， ∴△ABP是等腰直角三角形，且∠APB＝90°. 如图，延长PA至点D，使得AD＝PA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，则符合题意的点P在直线DE上． ∵△APB是等腰直角三角形，DE∥AC，AC⊥PD， ∴∠DAE＝∠BAP＝45°，PD⊥DE， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝AP＝2，∴E(5，0)． 设直线DE的表达式为y＝－x＋e， ∴－5＋e＝0，解得e＝5， ∴直线DE的表达式为y＝－x＋5. 联立 解得或 ∴P(，)或(，)． 综上所述，点P的坐标为(2，－1)或(，)或(，)． 学科网（北京）股份有限公司 $$