16 第三章 第八节 二次函数的线段、周长最值问题 -【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省济南市中考数学精练本

第八节　二次函数的线段、周长最值问题 1．(改编题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－x＋2交x轴于点A，B，交y轴于点C. (1)求△ABC的面积； (2)如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM＝∠OAC，P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标． 2．(2023·济南历城二模节选)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A(－4，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC. (1)求该抛物线的表达式； (2)如图2，M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值． 参考答案 1．解：(1)在y＝－x2－x＋2中，令x＝0，则y＝2， ∴C(0，2)，∴OC＝2. 令y＝0，则－x2－x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝－4， ∴A(－4，0)，B(1，0)，∴AB＝1－(－4)＝5， ∴S△ABC＝AB·OC＝×5×2＝5. (2)如图，过点P作PN∥y轴，交AC于点T，交CM于点N，交x轴于点K，过点G作GH⊥PN于点H， 则∠PNG＝∠OCM，∠PHG＝∠AKT＝90°. ∵PG⊥AC， ∴∠PET＝90°＝∠AKT， ∴∠PTE＋∠TPE＝90°， ∠OAC＋∠ATK＝90°. ∵∠PTE＝∠ATK， ∴∠TPE＝∠OAC. ∵∠OCM＝∠OAC， ∴∠PNG＝∠TPE＝∠OAC，∴PG＝NG. ∵GH⊥PN， ∴PH＝PN. ∵tan∠OAC＝tan∠OCM， ∴＝，即＝， ∴OM＝1，∴M(－1，0)． 设直线CM的表达式为y＝kx＋b. ∵M(－1，0)，C(0，2)， ∴解得 ∴直线CM的表达式为y＝2x＋2. 设P(m，－m2－m＋2)，则N(m，2m＋2)， ∴PN＝－m2－m＋2－(2m＋2)＝－m2－m， ∴PH＝PN＝－m2－m. ∵AC＝＝＝2， ∴＝cos∠TPE＝cos∠OAC＝＝＝， ∴PG＝PH＝－m2－m＝－(m＋)2＋， ∴当m＝－，PG最大，最大值为， ∴当点P的坐标为(－，)时，PG最大，最大值为. 2．解：(1)将A(－4，0)和B(1，0)代入y＝ax2＋bx＋2 得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋2. (2)∵A(－4，0)，C(0，2)， ∴直线AC的表达式为y＝x＋2. 设M(m，－m2－m＋2)，则N(m，m＋2)， ∴MN＝－m2－m＋2－(m＋2)＝－m2－2m. ∵MQ∥x轴，MN∥y轴， ∴∠MQN＝∠CAO，∠NMQ＝∠AOC＝90°， ∴△QMN∽△AOC， ∴＝＝，即＝＝， ∴MQ＝2MN，NQ＝MN， ∴C△MNQ＝MN＋MQ＋NQ＝MN＋2MN＋MN＝(3＋)MN＝(3＋)×(－m2－2m)＝－(m＋2)2＋6＋2. ∵－<0， ∴当m＝－2 时，△MNQ的周长最大，最大值为6＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $$