14 第三章 第六节 反比例函数的综合应用 -【智乐星中考·学考传奇】2024年山东省济南市中考数学精练本

第六节　反比例函数的综合应用 1．(2023·济南高新二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x＋b与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线H：y＝交于点P(2，)，直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E，D. (1)求k和b的值； (2)当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值； (3)如果△BDE是以BE为腰的等腰三角形，求点E的坐标． 2．(2022·济南)如图，一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点 A(a, 3)，与y轴交于点B. (1)求a，k的值； (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB. ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上．若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标． 3．(2023·四川眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点 A(4，0)，与y轴交于点B(0，2)，与反比例函数 y＝在第四象限内的图象交于点 C(6，a)． (1)求反比例函数的表达式； (2)当kx＋b>时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线y＝上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．(2023·济南历下一模)如图，直线OC：y＝3x的图象与反比例函数：y＝(x＞0) 的图象交于点C(2，c)，点A在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，y＝(x＞0)的图象经过线段AB的中点M. (1)求c的值与k的值； (2)求平行四边形OABC的面积； (3)若点P是反比例函数y＝(x＞0)图象上的一个动点，Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，使得四边形AMPQ是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：(1)把点P(2，)代入y＝得＝， 解得k＝9. 把点P(2，)代入y＝x＋b，得＋b＝， 解得b＝3. (2)在直线y＝x＋3中，令x＝0得y＝3， ∴B(0，3)，∴OB＝3. 令y＝0得x＋3＝0， 解得x＝－4，∴A(－4，0)． ∵直线x＝m分别与直线y＝x＋3和双曲线y＝交于点E，D， ∴E(m，m＋3)，D(m，)． ∵点E在线段AB上，∴－4≤m≤0，∴ED＝m＋3－. ∵ED＝BO，∴m＋3－＝3， 解得m1＝－2，m2＝2. 经检验，m1＝－2，m2＝2都是原方程的解，但－4≤m≤0，∴m＝－2. (3)如图，过点E作EF⊥y轴于点F. ∵B(0，3)，E(m，m＋3)，D(m，)， ∴F(0，m＋3)， ∴BE2＝BF2＋EF2＝[3－(m＋3)]2＋m2＝m2， ∴BE＝|m|. 又∵DE＝|m＋3－|，△BDE是以BE为腰的等腰三角形， ∴BE＝DE， ∴|m|＝|m＋3－|，解得m1＝－3，m2＝， ∴E(－3，)或(，)． 综上所述，点E的坐标为(－3，)或(，)． 2．解：(1)将点A(a，3)代入y＝x＋1得a＝4， ∴A(4，3)． 将点A(4，3)代入y＝得k＝4×3＝12. (2)①如图1，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，交AB于点E， ∴AM∥CN. ∵AC＝AD，∴＝＝，∴CN＝6. 由(1)得反比函数的表达式为y＝， ∴xC＝＝2，∴C(2，6)，∴E(2，2)， ∴CE＝6－2＝4， ∴S△ABC＝S△ACE＋S△BCE＝×4×2＋×4×2＝8. ②分两种情况：设P(x1，y1)，Q(x2，0)． a．如图2，当四边形ABQP为平行四边形时． ∵点B向下平移1个单位长度，向右平移x2个单位长度得到点Q， ∴点A向下平移1个单位长度，向右平移x2个单位长度得到点P， ∴y1＝3－1＝2，x1＝＝6，∴P(6，2)； b．如图3，当四边形APBQ为平行四边形时． ∵点Q向上平移1个单位长度，向左平移x2个单位长度得到点B， ∴点A向上平移1个单位长度，向左平移x2个单位长度得到点P， ∴y1＝3＋1＝4，x1＝＝3，∴P(3，4)． 综上所述，符合条件的点P的坐标是(6，2)或(3，4)． 3．解：(1)把A(4，0)，B(0，2)代入y＝kx＋b中得∴ ∴直线y＝kx＋b的表达式为y＝－x＋2. 在y＝－x＋2中，当x＝6时，y＝－×6＋2＝－1， ∴C(6，－1)． 把C(6，－1)代入y＝中得－1＝， ∴m＝－6，∴反比例函数的表达式为y＝－. (2)x<－2或0<x<6. (3)存在．如图，设直线AP交y轴于点 M(0，m)． ∵A(4，0)，B(0，2)， ∴BM2＝|2－m|2＝m2－4m＋4， AB2＝22＋42＝20， AM2＝42＋m2＝m2＋16. ∵△ABP是以点A