2024年九年级中考数学总复习 对角互补四边形模型 同步练

对角互补四边形模型 模型介绍：有一组对角互补的四边形叫做对角互补四边形.通常取一个角的邻补角，或由两直线平行同旁内角互补，利用同角的补角相等，从而构造全等(相似)三角形；对角互补四边形模型也常常在圆中出现，利用圆的有关性质，得出角或线段的数量关系. 类型1 对角互补类 四边形中有一组对角互补，找到其中一个角的补角，利用等角的补角相等，得到一组等角，构造全等(相似) 三角形. 经典模型图 常用结论 条 件: ∠DAB +∠BCD = 180°， DA=DC 延长BC 至点E， 使CE=AB: ∠DCE=∠A； △DCE≌△DAB 过点D作DE⊥AB交 BA的延长线于点E， DF⊥BC于点F: ∠EAD=∠C； △DAE≌△DCF 条 件: ∠DAB +∠BCD=180° 作∠CDE=∠ADB，DE 交BC的延长线于点E ∠DCE=∠A； △DCE∽△DAB 过点D作DE⊥AB交 BA的延长线于点E， DF ⊥ BC 于点 F ∠EAD=∠C； △DAE∽△DCF 例1、如图，在四边形 ABCD 中，，连接BD，过点 A 作于点E，若求BD的长. 例2、如图，⊙O的直径AB为10，弦AC为 6，的平分线交⊙O于点D，求CD 的长. 例3、如图，在中，点D在底边BC上，作的两边分别交A B，AC边于点E，F，若，求DF的长. 练习题 1、 如图，在中，，D是AB边的中点，以点D为顶点作使，两边分别与边BC，AC 交于点E，F，探究DE与DF之间的数量关系，并证明.(用含m的式子表示) 2、课堂上，老师出示了这样一道题： 如图1，在四边形ABCD中，，连接BD，过点C作交BD于点E，求证： (1)小云同学是这样做的：延长DA至点F，使，连接BF，请根据小云同学的思路完成证明； (2)如图2，老师将改为(k为常数，其他条件不变，求CD与CE之间的数量关系.(用含k的式子表示) 3、【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，∠A和∠C称为它的对角，若这个四边形满足：∠A+∠C＝180°，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”． 【问题解决】 （1）若四边形ABCD是“对角互补四边形”，且∠B＝3∠D，求∠B的度数； （2）如图②，∠MON＝60°，OB平分∠MON，A是射线OM上一动点，C是射线OM上的动点，且四边形COAB是“对角互补四边形”． ①若△COB是等腰三角形，求∠BAN的度数； ②若OB＝m，若S△BOC：S△BOA＝n，求OC的长（用含m、n的代数式表示）． 类型 2 蝶形图 根据题目条件导角得到蝶形图中的一组等角，从而构造全等(相似) 三角形。 经典模型图 常用结论 条 件： ∠BAC =∠BDC=90°， AB=AC 过点A作AE⊥AD于点A， 交BD 于点E ∠ABE=∠ACD； △ABE≌△ACD 过点A分别作AE⊥BD于点 E，AF⊥CD交CD的延长线 于点F ∠ABE=∠ACD； △ABE≌△ACF 条 件： ∠BAC=∠BD， AB=kAC 以点A为顶点，作∠DAE = ∠BAC，交BD于点E ∠ABE=∠ACD； △ABE∽△ACD 过点A分别作AE⊥BD于点 E，AF⊥CD交CD的延长线 于点F ∠ABE=∠ACD； △ABE∽△ACF 例1、如图，在四边形ABCD中点E在CD 边上， 求证： 例2、在中，点D在AB上，在绕顶点D旋转的过程中，点N在直线AC上，点M在直线 BC上. (1)如图1，DM与DN之间的数量关系为 ； (2)如图2，探究DM与DN之间的数量关系，并证明. 练习题 1、如图，在四边形ABCD中，点E在DC的延长线上，求证： 2、综合与实践 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 问题探究 （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD．请探究线段EF，BE，FD之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到点G，使得BG＝DF，连接AG． 在△ABG和△ADF中， ∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∴∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE． ∵∠EAF∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF． …… 问题迁移 （2）班长李浩同学发现在如图2所示的四边形ABCD中，若AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF∠BAD，且（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并完成证明过程； 拓展应用 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E，F分别是边BC