北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题

第1页/共20页 2024北京人大附中高二(上)期末 数 学 2024 年 1 月 17 日 说明: 卷满分 100 分、 卷满分 50 分、全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 椭圆C : 2 22 2x y+ = 的焦点坐标为( ) A. ( 1,0)− , (1,0) B. (0, 1)− ,(0,1) C. ( )3,0− , ( )3,0 D. ( )0, 3− , ( )0, 3 2. 抛物线 2y x= 的准线方程是( ) A. 1 2 x = − B. 1 4 x = − C. 1 2 y = − D. 1 4 y = − 3. 直线3 3 1 0x y+ + = 的倾斜角是( ) A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 4. 已知点 P与 (0,2), ( 1,0)A B − 共线,则点 P的坐标可以为( ) A. (1, 1)− B. (1, 4) C. 1 , 1 2 − − D. ( 2,1)− 5. 已知 P为椭圆 2 2 2 : 1 4 x y C b + = 上的动点. ( 1,0), (1,0)A B− ,且 | | | | 4PA PB+ = ,则 2b =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,侧面 1 1ABB A ⊥底面 ABC ,则“ 1CB BB⊥ ”是“ CB AB⊥ ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在空间直角坐标系O xyz− 中,点 ( 2,3,1)−P 到 x轴的距离为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 第2页/共20页 8. 已知双曲线 2 2 2 : 1 y C x b − = 的左右顶点分别为 1 2,A A ,右焦点为 F,以 1A F 为直径作圆,与双曲线 C的 右支交于两点 ,P Q .若线段 PF 的垂直平分线过 2A ,则 2b 的数值为( ) A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 9. 设动直线 l与 ( ) 2 2: 1 5C x y+ + = 交于 ,A B 两点.若弦长 AB 既存在最大值又存在最小值,则在下列 所给的方程中,直线 l的方程可以是( ) A. 2x y a+ = B. 2ax y a+ = C. 2ax y+ = D. x ay a+ = 10. 如图,已知菱形 ABCD的边长为 2,且 60 , ,A E F = 分别为棱 ,AB DC 中点.将 BCF 和 ADE 分别沿 ,BF DE 折叠,若满足 / /AC 平面 DEBF ,则线段 AC 的取值范围为( ) A. )3,2 3 B. 3,2 3 C. )2, 2 3 D. 2, 2 3 第二部分(非选择题 共 60 分) 二、填空题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. 双曲线 2 2: 1 4 y C x − = 的渐近线方程为_. 12. 如图,已知 E,F分别为三棱锥 D ABC− 的棱 ,AB DC 的中点,则直线 DE 与 BF 的位置关系是 _(填“平行”,“异面”,“相交”). 13. 经过点 (0,1)A 且与直线 : 2 1 0l x y+ − = 垂直的直线方程为_. 14. 作为我国古代称量粮食的量器,米斗有着吉祥的寓意,是丰饶富足的象征,带有浓郁的民间文化韵 味.右图是一件清代老木米斗,可以近似看作正四棱台,测量得其内高为12cm ,两个底面内棱长分别为 18cm 和9cm ,则估计该米斗的容积为_ 3cm . 第3页/共20页 15. 已知四边形 ABCD是椭圆 2 2: 1 2 x M y+ = 的内接四边形,其对角线 AC 和 BD 交于原点O ,且斜率之 积为 1 3 − .给出下列四个结论: ①四边形 ABCD是平行四边形; ②存在四边形 ABCD是菱形; ③存在四边形 ABCD使得 91AOD = ; ④存在四边形 ABCD使得 2 2 64| | | | 5 AC BD+ = . 其中所有正确结论的序号为_. 三、解答题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知圆 2 2 2: ( 2) ( 0)C x y r r− + = 与 y轴相切. (1)直接写出圆心 C的坐标及 r的值; (2)直线 : 3 4 1 0l x y− − = 与圆 C交于两点 ,A B ,求 | |AB . 17. 已知直线 :